“三维納维-斯托克斯方程全局域上的光滑解”问题，是数学领域里的七个千禧年大奖难题之一。窦华书教授通过数学Sobolev空间分析，严格证明了三维納维-斯托克斯方程不存在全局域上的光滑解。针对压力驱动流动和剪切驱动流动，分别撰写了2篇论文。论文属于数学分析偏微分方程（PDE）领域。

文章1： 预印本： https://www.preprints.org/manuscript/202509.1747 （28页）

这篇文章，对压力驱动流动， 基于Sobolev空间分析，采用Ladyzhenskaya 椭圆算子不等式，证明了三维納维-斯托克斯方程不存在全局域上的光滑解。理论分析结果与DNS数值模拟结果和能量梯度理论分析一致。并且也与实验结果一致。即当局部位置Laplace算子变为零，NS正则性破坏，奇点产生。

文章2：预印本： https://www.preprints.org/manuscript/202603.1511 （24页）

​这篇文章，对剪切驱动流动，基于Sobolev空间分析，采用庞加莱不等式，证明了三维納维-斯托克斯方程不存在全局域上的光滑解。理论分析结果与DNS数值模拟结果和能量梯度理论分析一致。并且也与实验结果一致。即当局部位置速度梯度变为零，NS正则性破坏，奇点产生。

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文章1：证否三维Navier-Stokes方程全局光滑解的存在性

窦华书

摘要：在无滑移边界条件下，压力驱动流动的三维（3D）Navier-Stokes方程全局光滑解的存在性被证明不成立。本研究严格基于索博列夫空间分析。我们证明，解的破坏源于正则性的退化，而非速度的爆炸。对于受扰的层流平面Poiseuille流，瞬时速度场被分解为时间平均流和扰动流，两者均以其在索博列夫空间中的正则性为特征。当雷诺数大于临界雷诺数时，非线性相互作用会改变平均流剖面，且扰动幅度显著增大。这种扰动放大导致平均流和扰动流的粘性项在局部相互抵消，从而使总粘性项（即拉普拉斯项）在临界点$(\boldsymbol{x}^*, t^*)$处局部消失。根据椭圆算子估计，局部消失的粘性项会导致速度为零，这与非消失的来流速度相矛盾，从而形成奇点。该奇点引发速度不连续性，导致速度梯度的$L^\infty$范数发散，违反了索博列夫空间中全局光滑解的定义。该分析严格基于偏微分方程（PDE）理论，所有关键步骤均通过索博列夫空间性质和先验估计进行了验证。

图1 压力驱动流动-数学证明的逻辑框图。

文章2：平面Couette流动三维Navier-Stokes方程全局光滑解的不存在性

窦华书

摘要：本研究探讨了平面库埃特流三维（3D）不可压缩Navier-Stokes方程（NSE）的正则性。平面库埃特流是一种典型的剪切驱动流模型，具有明确界定的层流-湍流转捩阈值。本研究采用索博列夫空间理论和庞加莱不等式，严格证明了当雷诺数超过临界值$Re_{cr}$时，不存在全局光滑解。以前的研究表明，速度剖面上零速度梯度是3D平面库埃特流中湍流产生的必要且充分条件，但这些研究缺乏从偏微分方程框架角度出发的数学理论证明。本研究通过速度分解和奇异性分析填补了这一空白。我们证明，非线性扰动放大会导致平均速度梯度和扰动速度梯度局部相互抵消，从而在流场中引发有限时间奇异性形成，导致3D NSE的正则性破坏，进而使得全局光滑解不存在。需要强调的是，光滑解的不存在是由于解的局部正则性破坏，而非速度爆炸。此外，重要的是，通过索博列夫空间分析得到的NS方程正则性破坏的临界条件与通过实验和数值模拟得到的湍流起始的临界条件一致。

图2 剪切驱动流动-数学证明的逻辑框图。