[笔记，科普，数学] 素数（11）：完全数 perfect number，梅森素数  Mersenne prime

完全数： perfect number

梅森素数： Mersenne prime

三角形数： triangular number

一、什么是“完全数 perfect number”、“梅森素数 Mersenne prime”

   如果一个正整数恰好等于它的“真因子/真因数/真约数/proper divisor”之和，则称该数为“完全数”。

   所有的完全数都是三角形数（ triangular number ）。

   例如：

   6 = 1 + 2 + 3 

   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 

   496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 124 + 248

图1  梅森素数 Mersenne prime 公式，这里 n 和 M_n 都是素数

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MersennePrime/NumberedEquation1.svg

图2  梅森素数 Mersenne prime，mersenneprimes.jpg

https://simanaitissays.com/wp-content/uploads/2014/09/mersenneprimes.jpg

图3  三角形数 triangular number，裁剪自 triangular-numbers.jpg

https://cdn1.byjus.com/wp-content/uploads/2016/06/triangular-numbers.jpg

二、完全数 Perfect Number Table

2.1  前 10个完全数

1   6

2   28

3   496

4   8128

5   33550336

6   8589869056

7   137438691328

8   2305843008139952128

9   2658455991569831744654692615953842176

10  191561942608236107294793378084303638130997321548169216

2.2  梅森素数及其对应的完全数

Perfect Number Table 完美数表

The table added below contains the starting 9 Mersenne Primes and their respective Perfect Numbers.  下表包含起始的9个梅森素数及其各自的完美数。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，完全数

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=286002

[2] 科普中国，2021-12-31，认识完全数

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=175415

   真因子（Proper Divisor）是指一个正整数的所有正因子中，不包括其自身的因子。

   梅森质数是指形如2^p - 1的质数，其中指数p本身也为质数。

[3] 完全数，特殊的自然数，百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0/370913

以前的《科学网》相关博文链接：

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https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525711.html  

[2] 2026-03-13 22:49，[笔记，科普，数学] 素数（9）：判定素数的埃拉托色尼筛 Sieve of Eratosthenes

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525708.html

[3] 2026-03-12 22:07，[打听，科普，数学] 素数（8）：素数间隙 prime gap 与 Cramer's Conjecture  (Cramér's Conjecture)

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[8] 2026-03-07 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

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[11] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

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[13] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

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[14] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

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