致邓晓芒教授的一封信                               ——关于人工智能与数学哲学的一些问题

原创 吕梨杰 吕梨杰 怀疑之路   

邓老师，您好！

请允许我称您为邓老师，因为我曾阅读与学习过您的大部分文章和书籍，并从中受启发，从下边两个事例中可以看出来：

一是我关于微积分哲学的思考借助了“人类起源新论”学说。我曾经想论证微积分具有“自我认识”的哲学特征，这需要一套哲学理论提供论据与说辞，恰好在此之前我读过《人类起源新论：从哲学角度看（上下）》两篇文章，并且在北京师范大学亲耳听过相关的系列讲座，仔细一想发现人类起源新论中“符号性的运动图式内化为人的心理思维模式，语言由这种模式外化而来”的论述与微积分颇为契合。后来当我用“人类起源新论”考察微积分的思维时发现它具有“超越”与“反思”的特点，体现在Newton-Leibniz公式上，对此我意识到牛顿-莱布尼茨公式的哲学（背后的形而上学）是“我思故我在”。与此同时，还有一些其他的发现，如微积分中的“极限”语言是其“自我意识”，微积分中的命题“任意连续函数在闭区间上有界”具有“自由意志”的特征。

二是我在《康德<实践理性批判>句读》发布会中的提问。在报告后我提问：邓老师，《实践理性批判》中的理性来自纯粹理性，甚至是一种先验的认识能力，也就是先验逻辑，您有一篇文章叫《康德先验逻辑对形式逻辑的奠基》，那是不是可以说《实践理性批判》里有形式逻辑的基本思想？记得邓老师对此表示认同，并进行了一番解答，最后还举了古希腊神话故事来说明自由意志的问题。

在发布会中提出这个问题跟我对数学哲学的思考有关，我曾认为用康德的《纯粹理性批判》和《判断力批判》来研究数学的哲学就够了，因为数学是关于真与美的学问，与善的问题似乎没什么关系，但后来我发现Hilbert空间理论以及希尔伯特的形式主义似乎超出了真与美的范围，而跟数学的道德规范有某种关联，同时我想到《康德先验逻辑对形式逻辑的奠基》一文，由此产生了用《实践理性批判》来研究数学中的形式化、公理化的想法，向邓老师提问便是要验证一下这个想法是否合理。

邓老师对数学和人工智能有一些看法，对数学的态度我认为体现在《作为“大科学”的人文科学》一文中，但其中“把数学当成小科学”的观点我是不同意的，虽然我对数学知之甚少。邓老师说“人工智能是技术的表现”，我也不认同，因为我认为人工智能是未来科学，人工智能的理论基础与数学哲学有关。为了进一步地论述，先阐述我对微积分的哲学和人工智能理念的若干认识。

一、对微积分哲学和人工智能理念的思考

除了用邓老师的“人类起源新论”来剖析微积分，我还用《纯粹理性批判》来对微积分理论进行辨析，康德考察的数学命题是“7+5=12”，“两点之间直线最短”等初等数学内容，并未对高等数学（如微积分）进行分析，而我们现在谈论数学时微积分才具有代表性。《纯粹理性批判》的序言中关于数学思维方式革命的论述超出了初等数学，适用于高等数学。我认为微积分理论的先天综合判断当属基本公式（牛顿-莱布尼茨公式），那这个判断是如何可能的呢，从哲学上看是因为有函数把两个数联结在一起，因而“函数”即“我思”，而定积分则是我思对应的客观存在，因此命题“若函数连续，则其定积分存在”的哲学是“我思，故我在”，由此有推论：牛顿-莱布尼茨公式的哲学是“我思故我在”。在先验演绎后康德考察了判断的图型，一个自然的问题是：微积分理论的图型是什么？我认为是笛卡尔坐标系，那么它背后是否有某种哲学？我提出猜想：笛卡尔坐标系的哲学是笛卡尔的“身心交感论”，有一个依据是康德说“与空间中的对象的关系给出了与物体的交感”（B403），笛卡尔坐标系恰好就起了这么一个作用。我对微积分的哲学还有进一步的认识，比如微积分的物自体是实数，那我自体呢？由于“若函数连续，则其定积分存在”的哲学是“我思，故我在”，所以微积分的“我自体”应是连续函数，连续函数在微积分理论中具有能动性的特点。

康德曾说：“这里一切困难仅仅在于，一个主体如何能够内在地直观自己；只不过这种困难是任何一种理论所共同的。对主体自我的意识（统觉）是自我的简单表象，···”微积分是数学中的一个理论，它也有对主体自我内在直观的问题，其结果是极限论，微积分在近代的发展历经两百多年才形成极限理论作为它的基础。康德并未考察微积分，也没有考察一个数学理论，但他的哲学超越了微积分的思想，可能指示了某些现代数学的哲学，这是我对此的一个看法。

关于人工智能的理念，在我看来西方哲学史上与数学有关的是两个哲学思想：毕达哥拉斯的“数是万物的本原”和莱布尼茨的“普遍代数学”---用数字字符表示人类的所有思想。毕达哥拉斯学派认为数字4表示正义，10表示圆满，那么4+10=14又表示什么呢？正义与圆满相加是什么意思呢？黑格尔对毕达哥拉斯学派的评价是：“这种形而上学大都认为只须用一些名词概念[谓词]，便可得到关于绝对的知识，它既没有考察知性概念的真正内容和价值，也没有考察纯用名言[谓词]，去说明绝对的形式是否妥当。”在现在我们看来，毕达哥拉斯学派的观点有可取之处，比如衡量人们的幸福有“幸福指数”，又如对于公平正义等有贫富差距这一体现指标，对应社会学上所谓的“基尼系数”，问题的关键是这些指数，系数是经过数学论证与复杂计算得出的结果，其中涉及大量的数学理论与推导，而在古希腊并不具备这么多的数学知识和理论，所以毕达哥拉斯学派说的数是空乏的，缺少内容的，怎么能用来描述具有丰富内涵的对象呢。但在毕达哥拉斯之后的一千多年，有数学家莱布尼茨又重提这一思想，其间的缘由值得深思。我认为数学发展到了莱布尼茨这个时代，数学知识和对象丰富起来了，人们对数学概念的内容和价值也有了切近的考察，用数学来表示人类的思想是否更为可行了呢。莱布尼茨之所以提出“普遍代数”的观点，我认为跟微积分的哲学（思维规定）有关，根据我前面的看法，由于牛顿-莱布尼茨公式的哲学是“我思故我在”，所以积分号表示“反思”；又“极限”语言表示某种“自我意识”；还有像“自由意志”等也体现在微积分的知识命题中。“反思”、“自我意识”和“自由意志”等是哲学的基本对象，也是思维的基本规定，思想由它们构成，既然这些基本元素可以用微积分中的知识与符号表示，那么我们也愿意相信莱布尼茨说的：用数字（包括数学知识及其符号）来表达人类的所有思想。而对于“数学表达了人类的哪些具体思想？”——这个问题诉诸于数学哲学的具体研究。

我认为数学哲学（数学的思维规定）的研究有助于回答人工智能是否可能以及何以可能的问题，但光讲人的思维还不行，还需囊括人的情感和意志等的数学化的问题，对此我提出“数学思维建模”的设想，具体来说就是用数学理论来分析、评论文学作品（如小说），小说中有人的思维、情感和意志等人性的内容，它们如果能用数学（数学知识）来讨论研究，而数学的形式是符号化的，那么反过来人的知情意等便最终能数学化、符号化。邓老师在《哲学起步》中说“真正的语言是符号性的语言”，也许现有的数学知识及其符号能为人工智能提供一套语言。关于数学与文学二者能否综合来讨论的问题，我持乐观的态度，理由是：通过对数学的哲学思索我认为数学背后有一种心灵哲学，而邓老师在《文学冲突的四大主题》中认为“心灵的冲突是文学的主题”，因此数学与文学在心灵上具有同一性，二者可同日而语。读研究生时我的学习方向是复动力系统，当时写了一篇文章——《你往何处去》的动力系统思想，出发点是：动力系统考察函数迭代族的某种不变性；文学讨论人的情感，人的情感在故事的发展中也体现某种不变性。我有一个基本的观点是：小说《你往何处去》中主人公维尼兹尤斯由于反思的痛苦，他的情感分裂为坚定的信仰和让自己厌恶的欲望与复动力系统中的稳定集（Fatou集）和非稳定集（Julia集）相对应。邓老师曾拿《西游记》同《你往何处去》进行对比，我也并未在《西游记》中看见现代数学中的动力系统思想。

关于数学与文学二者间可以相互探讨我还有一个论据，文学涉及人生观的问题，邓老师也曾说“人生的本质是一部长篇小说”。对于人生观，百年前张君劢总结了五个特点：“主观的，直觉的，综合的，自由意志的，单一的；”微积分理论也有这样一些特点，微积分是牛顿、莱布尼茨的自我实现体现了“主体性”，微积分的直观形式是笛卡尔坐标，微积分中微分与积分的结合体现“综合性”，微积分中的一些命题体现了“自由意志”等。既然人生观与微积分的哲学特点是相同的或类似的，二者间应可以做分析与比较。我曾用微积分考察巴尔扎克的小说《高老头》，深感文学数学研究的艰难，把数学和文学这两种完全不同形式、不同语言的对象进行统摄需要巨大的想象力，想象力意味着创造力。

二、对哲学家关于数学与人工智能看法的评论

邓老师在讲古希腊哲学时说：“毕达哥拉斯有他的矛盾，他的矛盾就在于如何解释运动，···赫拉克利特就出来在这方面对他加以修正。”毕达哥拉斯的基本哲学观点是“数是万物的本原”，当我考察微积分的本原时，回答是：无穷小，也就是说“无穷小”可以解释微积分中的各种概念和运算。赫拉克利特有“变易”的思想，而微积分研究的对象——函数恰恰就体现了这一思想，因为函数就是把一个数变成另一个数的数学对象。我认为微积分的哲学是“我思故我在”，那思维与存在的同一性体现在哪里呢？体现在实数理论中，所以赫拉克利特之后巴门尼德的“思维与存在同一”的思想用来描述现代数学中的实数理论是合适的。黑格尔说：“我们在将宇宙解释为数的尝试里，发现了到形而上学的第一步。···而巴门尼德，则已进展到以“存在”为形式的纯思阶段。”黑格尔持这个看法只是因为他没能考察完整的微积分理论，微积分的极限论很明显就是个“存在论”的问题，若极限不存在，则各种基本概念都无法定义。极限的结果往往是一个确定大小的数，所以从微积分来看，数也不止是黑格尔说的“感官事物本身的思”，而体现为一种自我确定的认识。邓老师在《辩证逻辑的本质之我见》中说：“形式逻辑不理解辩证逻辑，只不过表明形式逻辑尚未达到自我理解、自我意识。”微积分的内在逻辑并不是形式逻辑，而是莱布尼茨的充分性逻辑，在莱布尼茨的思想那里，除了有微积分的数学形式、微积分的逻辑，还有微积分的自我认识哲学，即“单子论”，单子论其实表达了微积分中极限论的思想。至于实数理论的思想，我想可能在海德格尔的《存在与时间》中有具体表述，康德说“用一条延伸至无限的线来表象时间序列”，在数学中也用一条直线来表示实数，所以从思维与存在同一的哲学来看，《存在与时间》中应有实数“思维与存在同一”的微积分思想。

微积分基本公式、极限理论和实数理论三者统一在《数学分析》这门数学课程中，不知哲学是否有一个理论，把笛卡尔的“我思故我在”、莱布尼茨和康德的统觉理论和海德格尔的《存在与时间》综合成一门《哲学分析》的课程。

邓老师在《作为“大科学”的人文科学》中认为“人文科学为自然科学奠基”，“自然科学是人文科学在自然领域中的运用”，这些观点我认为很重要，但把数学当成小科学的观点我却不认同。邓老师讲到定量分析时说：“它实际上是以数学为标准衡量一切科学的‘科学性’”，这里的“数学”二字用“数字”来代替比较合适。马克思说：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”我认为马克思的意思是说数学由于具有自我认识的特点，因此可以帮助其他的学科获得自我确定性，而马克思此前说的“在高等数学中找到最合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动”即我认为的“我思故我在”。人文学者一般对数学有某种误解，将数学等同于数的计算，其实数的加减乘除运算只是小学算术，而人文学者一般不熟悉能代表数学的理论（如微积分）。康德把知性范畴分为量的、质的、关系和模态，仔细考察任意一个数学概念（而非数学名称）都能发现伴随着这几种命题的判断形式，如微积分中函数的导数概念：四则运算是量的计算，极限体现质的变化，“函数可导必连续”这个命题反映了连续和可导之间的充分性逻辑关系，至于处于微积分知识边界的命题“存在处处连续且处处不可导的函数”则涉及判断的模态问题。总的来说数学并不是量的科学，所以黑格尔说的极端的数学观点——“将逻辑理念的一个特殊阶段，即量的概念，认作与逻辑理念本身为同一的东西”是对数学的片面认识。

把数学误解为数的计算可能来自哥德巴赫猜想，简称“1+1”的问题，仔细一看，这里的“1”并非量的规定，而是本质性的。我曾听一位数学家说某数学家三十年只写了一篇文章，但这一文章的结果是数论近十年来的唯一成果，显然不能用论文或引用的数量来衡量这位数学家的贡献。我曾从华罗庚身上领悟到一个思想——“心灵的自我认识”，我认为用这句话来概括伟大的数学家是合适的，对于数学来说呢，是“数的自我认识”，我把“数学是数的自我认识”作为数学的哲学定义，后来又在古希腊哲学那里找到了确切的根源，具体来说是：古希腊哲学的第一个概念是“本原”，什么是本原？万物从它产生最后又回到它，那就是万物的本原，毕达哥拉斯认为“数是万物的本原”，那什么是数学的本原，回答是“数”，总结起来说就是——数学是数的回复与认识，也就是说，数是数学的始基，从数出发形成各种各样的数学对象，这些对象最终会回复到数的规定并达到对数自身的认识；综合起来就是“数学是数的自我认识”。数学是心灵的自我认识，这是对于数学家来说的；而数学是数的自我认识，则是对数学来说的。那心灵和数是什么关系呢？在思考这个问题时我想起了邓老师的美学观点“美是对象化了的情感”，所以我的看法是：数是心灵的对象化。数学家戴德金曾说“数是人类心灵的自由创造”，用古希腊哲学的说法，我认为心灵是数的本原，古希腊毕达哥拉斯学派其实有“数学的本原是万物的本原”一说，如果说心灵是人的思想产物的本原，也是可以的，“心灵是安排万物的原则”，而数恰好因为有大小之分是能充当万物秩序原则的。我认为哥德巴赫猜想体现了“数的自我认识”这一哲学，曾听一位数学家在一个讲座中说哥德巴赫猜想的进展至今为零，这位数学家也谈到了陈景润的工作。从康德的知性范畴来看“1+1”的问题，我这么认为：上世纪陈景润等的工作对它来说是量的；至于质方面的研究至今尚没有；华罗庚认为“哥德巴赫猜想跟解析数论中几乎所以重要方法都有关联”这一认识属于关系范畴；在模态方面，“1+1”的问题可能不止是数学问题，它可能是个哲学问题，因而从数学上来看可能永远无法回答它，也许需要从哲学的角度来观察。

三、从邓老师思想观点得到的另一启发

邓老师在《当代形而上学的重建（上）》一文中提到的西方形而上学——“物理学之后”和中国先秦的形而上学——“伦理学之后”的观点对我的相关思考有重要启示。具体来说，当我得到微积分的哲学是“我思故我在”后，便认为中国之所以没有产生微积分是因为没有笛卡尔哲学，但中国宋明哲学的一些观点如王阳明的“吾心即宇宙，宇宙即吾心”也涉及思想与存在同一的问题，那该怎么对待这些哲学呢？我的想法是它们不是微积分的哲学，但可能与微积分的思想有关。微积分的创始人之牛顿是物理学家、自然哲学家，微积分是典型的“物理学之后”，那是否有一种“伦理学之后”的微积分呢？我想它可能在中国哲学中。这一点对于我们认识作为未来科学的人工智能有重要意义，如果中国传统思想中有某种意义上的微积分思想，甚至还有其他的数学思想，而数学是符号化的语言，那么“将人类的思想数学化”则需要考察中国传统思想文化。

在《论文学批评的力量》中邓老师列出了文学批评的四个要素，对我思考用数学评价文学有参考价值，其中一个要素是“哲学涵养”，我也认为用数学去评论文学需要找到二者间的共同哲学问题，但邓老师在《做一个思想者》的专访里又说“但哲学不能直接用来解读作品”，看来我提出的“数学思维建模”实践起来任重而道远。

《论人类创造力的起源》中邓老师认为：“人工智能是“非哲学”的，它在计算能力上远超人类，但它没有“爱”。”心灵是人类思想的本原，数是数学的本原，将人类思想通过心灵与数还原为数学的形式即是我们为人工智能理论奠基，心灵与数的结合是“爱”的原则，这一创造性的工作需要人类自身去完成。

您的学生   吕梨杰

 修于2025年3月18日