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[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

已有 160 次阅读 2026-3-9 22:12 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科普集锦

为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

用清晰的思想代替盲目的计算。

Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

黎曼： Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-09-17 ~ 1866-07-20， 39

黎曼猜想： Riemann Hypothesis

一、黎曼猜想 Riemann Hypothesis

我实在看不懂。

黎曼猜想 Riemann Hypothesis 的介绍，请看权威的 The Millennium Prize Problems, Clay Mathematics Institute 的介绍吧！

Riemann Hypothesis, 黎曼猜想

https://www.claymath.org/millennium/riemann-hypothesis/

Riemann Hypothesis

The prime number theorem determines the average distribution of the primes. The Riemann hypothesis tells us about the deviation from the average. Formulated in Riemann’s 1859 paper, it asserts that all the ‘non-obvious’ zeros of the zeta function are complex numbers with real part 1/2.

二、黎曼猜想的等价命题

The Riemann hypothesis is equivalent to the assertion that

黎曼猜想等价于以下断言

The Riemann hypothesis is equivalent to.jpg

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/PrimeNumberTheorem/NumberedEquation20.svg

for some value of c (Ingham 1990, p. 83; Landau 1974, pp. 378-388; Ball and Coxeter 1987; Hardy 1999, p. 26), as shown by Koch in 1901 (Havil 2003, p. 205). 对于c的某些值(Ingham 1990, p. 83; Landau 1974, pp. 378-388; Ball and Coxeter 1987; Hardy 1999, p. 26), as shown by Koch in 1901 (Havil 2003, p. 205).

上面公式里 Li(x)、π(x) 的含义，请看前几天的博文。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，黎曼假设

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289304

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。

[2] 科普中国，2020-11-16，千年之谜（一）黎曼猜想：来自珠穆朗玛的曙光

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=49236

多年后，关于这一问题的重大突破则来自于黎曼的博士导师高斯（Gauss）。德国数学家高斯在年仅14岁时就独自发现了素数的分布规律，并提出了关于素数分布的猜想。该猜想断言，虽然素数的分布极其随机，但是整体上仍然可以被宏观地把握，它们会以逐渐稀少的方式遵循着一个系统的原则。然而，高斯终其一生也无法证实这个猜测。

1859年，年仅33岁的黎曼发表了题为“论小于已知数的素数的个数”的论文，作为他刚当选为德国柏林科学院通信院士的回报。在这篇文章里，黎曼阐述了素数的精确分布规律，从此拉开了延续至今的传奇大幕。

[3] 中国数字科技馆，2021-06-15 15:25:00，21世纪的7个顶级数学难题，只有1个得到了解决

https://www.cdstm.cn/gallery/hycx/qyzx/202107/t20210704_1050812.html

Ono一直专注于另一个千年问题：黎曼猜想，它涉及质数及其分布。2019年，他和他的同事在《美国科学院院刊》上发表了一篇论文，重新审视了一种古老的，已经被弃用的方法，并用它来寻求答案。在随附的评论中，普林斯顿高等研究院的数学家、1974年数学最高荣誉菲尔兹奖获得者Enrico Bombieri将这项研究描述为“重大突破”。然而Ono表示，将他的工作描述为“即将证明黎曼猜想”是没有根据的。

[4] 图灵编辑部，遇见数学，2025-06-25，牛津大学数学教授索托伊：为什么说黎曼猜想是“危险的”？

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxNzg3MTE3Ng==&mid=2247524648&idx=1&sn=6be1904df336dd5c8ac43c606d5c60d1&chksm=9ab4c6a5052ea7950f70b90e2147d2b98909da49d91dbf64dd3935e4f9a0c312e8e57cbdbb73&scene=27

[5] bilibili，2022-03-14，黎曼猜想

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-08 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524948.html

[2] 2026-03-07 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524859.html

[3] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[4] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic