什么是“数”？指的是表示事物的量的基本数学概念。什么是“量”？指的是事物存在和发展的规模、程度、速度等，即可以用量表示的规定性，如多少、大小、高低、轻重、快慢等，以及用器具确定东西的多少、长短或其他。

那么，“数”是人类发明的计算物质和现象的“量”的工具吗？这涉及到数学哲学中非常重要的一派思想，被称为“形式主义”或“建构主义”。我们可以从几个层面来深入探讨这个观点，并看看其他不同的见解。

数学的“发明论”

作为人类的心智模型，“数”的核心特征包括：

工具性：数的概念，以及后续发展出的算术、代数等，是理解世界、进行预测和有效沟通的强大工具。没有这个工具，复杂的科学、技术和贸易几乎不可能实现。

抽象性：人类从具体经验（如看到三只羊、三棵树）中，抽象出了“3”这个独立于任何实体的纯粹概念。这是一个巨大的认知飞跃。

符号系统：我们发明了数字（如1，2，3）、运算符号（+，-，×，÷）等一套符号系统来表征和操作这个抽象概念。不同的文明发明了不同的计数系统和符号（如罗马数字、玛雅数字），这强有力地说明了其“发明”的属性。

解决特定问题：数学的发展往往是为了解决实际问题。例如，负数是为了表示债务，虚数单位i是为了解决特定方程无解的问题。这些概念在自然界中没有直接的对应物，是人类为了完善理论体系而“发明”出来的。

简而言之，“发明论”认为，数学就像一种游戏规则，是我们自己制定的一套用来描述世界的语言和逻辑工具。

“发现论”的视角

然而，还存在另一个同样有力的观点，即数学是被“发现”的。这种观点被称为“柏拉图主义”。

普遍性与必然性：无论你在哪个星球，用何种文明，1+1 都等于 2。勾股定理所描述的关系，在任何一个直角三角形中都成立。这种不依赖于人类意志的客观性和必然性，让人觉得我们像是在“发现”一个预先存在的、抽象的数学宇宙的规律。

预测与有效性：数学家常常基于纯逻辑推理，“发现”一些极其抽象的数学结构。这些结构可能在几十年甚至几百年后，才被物理学家发现正好可以用来描述真实的物理世界（例如，黎曼几何之于广义相对论）。这种“不可思议的有效性”暗示数学似乎不仅仅是发明，而是对宇宙深层结构的一种发现。

简而言之，“发现论”认为，数学真理是客观存在的，独立于人类心智。我们的数学活动，是在探索一个永恒的、抽象的“数学实在”。

一个可能的折中观点

许多哲学家和科学家倾向于一种折中的看法：

基本的关系和逻辑是“被发现”的：比如“量”的差异、事物的“相等”关系，可能是宇宙固有的、客观存在的属性。我们“发现”了这些基本关系。

描述这些关系的概念和体系是“被发明”的：为了描述和运用这些客观关系，我们“发明”了“数”“点”“线”“面”等概念，并“发明”了公理、公式和符号系统来构建整个数学大厦。

例如，重力在牛顿之前就存在，它是被“发现”的物理现象。但描述重力的公式F=G（m1m2）/r²，则是牛顿发明的一套人类可以理解和计算的数学模型。

所以，从认知科学和工具论的角度看。它强调了人类认知在塑造数学中的主动作用。但同时，数学惊人的客观有效性和普遍性，也让我们不得不思考，我们的“发明”是否是基于对某种更深层、更客观的“宇宙语法”的“发现”而进行的。

这或许正是数学的魅力所在：它处于人类心智的创造与客观世界的真理之间的奇妙交界点上。