线性代数起源于线性方程组的求解问题. 很多数学问题和现实问题可以转换成线性方程组的问题, 因此可以用线性代数的理论去解决. 从科学的角度, 线性代数研究各种线性关联, 对线性系统进行建模, 研究各种叠加现象. 线性系统是满足叠加原理的系统. 线性代数主要研究有限维的线性系统, 更准确的说是研究单体的线性系统, 多体的线性系统属于多线性代数的研究范围. 无穷维的线性系统是泛函分析和算子代数的研究对象.

线性代数的主要研究对象是向量和线性映射或者说线性关联. 线性代数的范畴是紧闭笛卡尔范畴, 已经完全被公理化了, 其图形演算也完全清楚.学习线性代数, 要注意它有两个层次或者两种语言,一个是抽象的层次,一个是具体的层次. 它们相辅相成,各有利弊. 抽象的层次有利于理解, 侧重于概念和结构, 有利于直觉和洞察力的培养. 具体的层次有利于计算,侧重于程序和算法, 有利于解决具体问题.线性代数的核心概念是向量空间, 线性变换, 线性关联. 线性变换和线性关联都可以用矩阵表示.

加法运算和数乘运算统称为线性运算. 一切可以进行线性运算的东西都可以称为向量,或者矢量. 线性空间是关于线性运算封闭的集合, 它的元素称为向量.

线性运算满足一些简单的规律, 它们和仿射空间中的运动是一致的. 仿射空间就是定义了平移关系和伸缩关系的空间, 它的对称群就是线性空间. 

线性映射是向量空间之间的特殊映射, 它吃掉和吐出来的都是向量, 并且保持线性运算. 它是一种非常强大的建模工具. 

量子的世界是一个线性世界. 量子力学的基本原理是叠加原理, 它说的是可能的量子态的任意线性组合都是可能的.通过和集合理论的比较, 可以很好地理解线性理论研究的对象和结构. 前沿的研究更加关注多体量子体系, 凝聚态系统, 非微扰量子场论, 量子引力, 人工智能理论都是多体量子系统. 但是, 线性代数研究的问题只有单体和两体问题, 因此比较简单. 线性理论的真正挑战在于多体理论, 可以关注我的因果凝聚框架和属性主义纲领, 了解最新的进展.

从集合世界到线性世界是一个很自然的过程, 这个过程就像是基变换, 把二元关系和多元关系变成二阶张量和高阶张量.

和其它的基本数学理论一样, 线性代数也受到结构主义思想的控制. 研究向量空间, 线性映射, 和张量的分类, 不变量以及标准形式是线性理论的基本问题. 因为抽象对象和具体表示之间是通过基的选择联系起来的, 基的改变和具体表示的改变就反映了抽象对象的对称性, 通过对称性来研究张量是很重要的方法. 张量的不变量和标准型最后都可以用图来表示, 关于这一点可以看我的关于"图论基本定理"的公众号文章.

线性代数有6大基本定理, 分别列举如下, 这些定理都有非常直观的物理和几何解释, 大家可以自行收集学习, 也可以看我知乎上的相关文章. 我也会在以后的文章中逐个科普.