Zmn-1328-中 薛问天: 错误在于没有完全弄懂β(Δx)=o[α(Δx)]的真正含义。评师教民《1326》

【编者按。下面是薛问天先生的文章中，是对师教民先生的《Zmn-1326》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

续前

3，关于师先生进行的【代入】，认为由【β(Δx)=o[α(Δx)]】，就可以得出 【β(0)=o[α(0)]=o(0)，…．】的胡说八道的推论。

1)，师先生说【薛问天先生说〖o[α(Δx)] 括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值〗也是错误的，错误的理由为：薛问天先生早已承认 α(Δx)是Δx 的函数，Δx=0 时的值不就成了无穷小变量函数 α(Δx) 在Δx=0 时的函数值吗？所以，你薛问天先生上述的〖o[α(Δx)] 括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在Δx=0 时的函数值〗就错误了． 】

师先生没有弄懂，α(0)当然是函数α(Δx) 在Δx=0 时的函数值，但是〖o[α(Δx)] 括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值〗，不能写出o(α(0))这样的表示。【β(Δx)=o[α(Δx)]】表达的是无穷小 β(Δx) 是比无穷小 α(Δx) 高阶的无穷小．高阶无穷小说的是无穷小这个变量【高阶】，不是也不能说，这个变量的函数值【高阶】．o[α(Δx)] 中的 o 不是这个高阶无穷小的函数符号，o[α(Δx)] 括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值，所以不能随便【代入】。

师先生说【薛问天先生企图用【o[α(Δx)]中的 o 不是函数符号】来说明自己正确，可是 o[α(Δx)]也符合函数的定义呀！例如，当Δx 取一个值时，o[α(Δx)]就有确定的值与其对应．可以试想一下，如果 o[α(Δx)]不符合函数的定义，还敢于和函数 β(Δx)相等吗？】

说明师先生在所说的①和②中虽然对高阶无穷小的某些方面有一定的正确认识，但是他没有完全弄懂β(Δx)=o[α(Δx)]的含义。要知道，o不是这个高阶无穷小的函数符号，並不是说这个高阶无穷小不是函数。β(Δx)=o[α(Δx)]是高阶无穷小，当然是Δx的函数。它的函数符号不是o，而是β，当Δx 取一个值时，如Δx=b时，β(Δx)=o[α(Δx)]就有确定的值与其对应．它只能写成β(b)，而不能写成o[α(b)]，因为o[α(Δx)] 括号中 的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在 Δx=b 时的函数值。高阶无穷小说的是比这个无穷小变量【高阶的无穷小变量】，没有也不是比这个变量的函数值【高阶的数值】的定义。

2)，师先生说【既然 o[α(Δx)]，β(Δx)，α(Δx)都是自变量Δx 的函数，那么把自变量Δx 在Δx=0 时的值代入上述函数 o [α(Δx)]，β(Δx)，α(Δx)，不就得到函数值 β(0)，o[α(0)]了吗？】

无穷小量β(Δx)的函数符号是β，所以在Δx=0时，它的函数值就是β(0)。同理无穷小量α(Δx)的函数符号是α，所以在Δx=0时，它的函数值就是α(0)。

但是我在前面己讲清楚，o不是这个高阶无穷小β(Δx)=o [α(Δx)]的函数符号，並不是说这个高阶无穷小不是函数。β(Δx)=o[α(Δx)]是高阶无穷小，当然是Δx的函数。它的函数符号是β，当Δx 取一个值时，如Δx=0时，o[α(Δx)]就有确定的值与其对应．它只能写成β(0)，而不能写成o[α(0)]，因为o[α(Δx)] 括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值，没有也不是比这个无穷小变量的函数值【高阶的数值】的定义。

师先生还说【又因为函数 o [α(Δx)] 和函数 β(Δx) 相等，所以，Δx=0 时的 值 β(0)，o[α(0)]也就相等了，即就有 β(0)=o[α(0)]了。】这种说法当然是错误的。尽管有等式β(Δx)=o [α(Δx)]，但由于o不是这个高阶无穷小β(Δx)=o[α(Δx)]的函数符号，当Δx=0时这个高阶无穷小的函数值只能写成β(0)，不能写成o[α(0)]，所以不能写出等式β(0)=o[α(0)]。可见不能随意把自变量Δx在Δx=0 时的值代入到上述的等式中去。师先生主张认为可以【把 Δx=0 代入到【β(Δx)=o[α(Δx)]】中的函数 β(Δx)和 α(Δx)后得到β(0)=o[α(0)]】，就是胡说八道的【推导】，犯了严重的错误。

待续

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