本文介绍Clifford的几何代数的微分运算。微分也分为两种情况，平直空间和流形。在平直空间中，基向量是固定不变的，只有坐标是变量，导数就是通常的导数。对于曲线坐标系或流形，基向量的变化会产生动态效应，这正是基向量微分要揭示的内容。几何代数定义在伪黎曼空间上，对流形中任一给定点${\bf x}$的邻域，微元向量为

\[ d{\bf x}= {\gamma}_a {\delta} X^a={\gamma}^a{\delta} X_a={\gamma}_\mu dx^\mu ={\gamma}^\mu dx_\mu,  \]

其中 ${\gamma}_a$ 是${\bf x}$点切空间$TV$中的局部标准正交标架，而${\gamma}^a$ 是余标架，${\delta} X^a$表示以这一点为原点的切空间中正交坐标系中的坐标微元。这里希腊字母表示曲线坐标的指标，拉丁字母表示局部正交坐标的指标，我们采用爱因斯坦求和约定，上下重标表示所有指标求和。距离微元 $ds=\sqrt{|d{\bf x}^2|}$ 和 向体积微元 $dV_k$ 分别定义为

$$ d{\bf x}^2 = \frac 1 2 ({\gamma}_\mu{\gamma}_\nu+{\gamma}_\nu{\gamma}_\mu)dx^\mu dx^\nu = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu =\eta_{ab} {\delta} X^a{\delta} X^b, $$

$$ dV_k = d{\bf x}_1 \wedge d{\bf x}_2 \wedge \cdots\wedge d{\bf x}_k ={\gamma}_{\mu\nu\cdots{\omega}} dx_1^\mu dx_2^\nu\cdots dx_k^{\omega}, $$

其中 $g_{\mu\nu}={\gamma}_\mu\cdot{\gamma}_\nu$ 是度规张量， 

$${\gamma}_{\mu\nu\cdots{\omega}}={\gamma}_\mu\wedge{\gamma}_\nu\wedge \cdots \wedge  {\gamma}_{\omega} \in {\Lambda}^k (\mathbb{R}^{1,3}) $$

是曲线坐标系中的格拉斯曼基，表示$k$维体积的方向和单位。

对于时空中的向量场 ${\bf A}={\gamma}_\mu A^\mu$，我们定义其绝对微分为

$$ d{\bf A} \equiv \lim_{{\Delta}{\bf x}\to d{\bf x}} [{\bf A}({\bf x}+{\Delta}{\bf x})-{\bf A}({\bf x})] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$

$$ = ({\partial}_{\alpha} A^\mu {\gamma}_\mu +A^\mu {{\mathfrak{d}}}_{\alpha} {\gamma}_\mu) d x^{\alpha} =({\partial}_{\alpha} A_\mu {\gamma}^\mu +A_\mu {{\mathfrak{d}}}_{\alpha} {\gamma}^\mu) d x^{\alpha}. $$

我们称${{\mathfrak{d}}}_{\alpha}$为联络算子，表示标架产生的动态效应。根据其几何意义，联络算子应满足以下三条公理：

1. 它是一个切空间中的实线性变换 ${\mathfrak{d}}_{\alpha}:~ TV\to TV$，所以我们有

$$ {{\mathfrak{d}}}_{\alpha}{\gamma}_{\beta} =K^\mu_{{\alpha}{\beta}}{\gamma}_\mu, \quad (K^\mu_{{\alpha}{\beta}}\in \mathbb{R}). $$

2. 对任意给定的可微函数 $\phi({\bf x})$ 我们有

$${\mathfrak{d}}_{\alpha}(\phi{\bf A}) =({\partial}_{\alpha} \phi){\bf A}+\phi ({\mathfrak{d}}_{\alpha} {\bf A}) . $$

3. 对于向量任意的双线性积${\bf A} \circ {\bf B}$，它满足莱布尼兹公式

$$ {\mathfrak{d}}_{\alpha}({\bf A}\circ {\bf B})=({\mathfrak{d}}_{\alpha} {\bf A})\circ {\bf B}+{\bf A}\circ ({\mathfrak{d}}_{\alpha} {\bf B}), $$

或者以基的形式

$$ {\mathfrak{d}}_{\alpha}({\gamma}^\mu\circ {\gamma}^\nu) =({\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^\mu) \circ {\gamma}^\nu+{\gamma}^\mu\circ ({\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^\nu). $$

这里双线性乘积意味着对任意的$a,b\in \mathbb{R}$ 我们有

$$ (a {\gamma}^\mu+b {\gamma}^\nu)\circ{\gamma}^{\omega} =a  {\gamma}^\mu \circ{\gamma}^{\omega}+b {\gamma}^\nu\circ{\gamma}^{\omega}, $$

$$ {\gamma}^{\omega} \circ (a {\gamma}^\mu+b {\gamma}^\nu)=a {\gamma}^{\omega}\circ{\gamma}^\mu +b {\gamma}^{\omega}\circ{\gamma}^\nu.  $$

显然，向量的几何积、内积、外积和张量积都是双线性积。但应注意，复内积空间$\mathbb{C}^n$的内积不是双线性积，因为在这种情况下我们有

$$ {\gamma}^{\omega} \cdot (a {\gamma}^\mu+b {\gamma}^\nu)=\bar a {\gamma}^{\omega}\cdot {\gamma}^\mu+\bar b {\gamma}^{\omega}\cdot{\gamma}^\nu. $$

由定义可以证明，对于度规张量${\bf g}=g_{\mu\nu} {\gamma}^\mu\otimes{\gamma}^\nu={\gamma}_\mu\otimes{\gamma}^\mu$, 这里$\otimes$ 表示张量积，我们有度规相容性条件$d{\bf g}=0$，以及 

$$ {\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^\mu = -K^\mu_{{\alpha}{\beta}}{\gamma}^{\beta}, \quad K^\mu_{{\alpha}{\beta}}={\Gamma}^\mu_{{\alpha}{\beta}}+\pi^\mu_{{\alpha}{\beta}}+{\cal{T}}^\mu_{{\alpha}{\beta}} $$

其中${\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}$是Christoffel 符号，$\pi^\mu_{{\alpha}{\beta}}=\pi^\mu_{{\beta}{\alpha}}$为扭率张量(contortion)，${\cal{T}}^\mu_{{\alpha}{\beta}}=-{\cal{T}}^\mu_{{\beta}{\alpha}}$ 为 和挠率张量(torsion)。扭率和挠率是与度规（引力场）独立的场量，扭率满足相容性条件

\[\pi_{\mu|\nu\alpha}+\pi_{\alpha|\mu\nu}+\pi_{\nu|\alpha\mu}=0, \quad \pi_{\mu|\nu\alpha}=g_{\mu\beta}\pi^\beta_{\nu\alpha}.\]  

挠率满足如下关系式

\[ {\cal{T}}_{\mu|\nu\alpha} = \frac 1 3 (\pi_{\alpha|\mu\nu}-\pi_{\nu|\mu\alpha}) + \widetilde{\cal{T}}_{\mu\nu\alpha}, \quad  {\cal{T}}_{\mu|\nu\alpha} = g_{\mu\beta} {\cal{T}}^\beta_{\nu\alpha}. \] 

其中 $\widetilde{\cal{T}}=\widetilde{\cal{T}}_{\mu\nu\omega} \gamma^{\mu\nu\omega} \in \Lambda^3$ 是一个任意的斜对称张量。

对于时空中质点的自由运动，我们有运动方程

$$ \frac {d{\bf v}}{ds} = \frac {d v^{\alpha}}{ds} {\gamma}_{\alpha}+v^{\alpha}{\mathfrak{d}}_\mu {\gamma}_{\alpha} v^\mu =\left(\frac {d v^{\alpha}}{ds} +({\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu} +\pi^{\alpha}_{\mu\nu}+{\cal{T}}^{\alpha}_{\mu\nu})v^\mu v^\nu\right){\gamma}_{\alpha}, $$

$$ = \left(\frac d {ds} v^{\alpha}+{\Gamma}^{\alpha}_{\mu\nu}v^\mu v^\nu\right){\gamma}_{\alpha} + \pi^{\alpha}_{\mu\nu} v^\mu v^\nu {\gamma}_{\alpha}=0. \qquad \qquad \qquad $$

对称部分$\pi^{\alpha}_{\mu\nu}$ 使得粒子运动偏离测地线，这意味着$\pi^{\alpha}_{\mu\nu}\neq 0$ 违反爱因斯坦的等效原理，因此通常取$\pi^{\alpha}_{\mu\nu}=0$。

对于克利福德代数$C\ell(\mathbb{R}^{1,3})$，我们有联络运算

$$ {\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^{0123}={\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^5=0. $$

$$ {\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^{123}= ({\mathfrak{d}}_{\alpha}{\gamma}_0) {\gamma}^{0123}, \quad {\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^{023}=-({\mathfrak{d}}_{\alpha}{\gamma}_1) {\gamma}^{0123}, $$

$${\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^{013}=({\mathfrak{d}}_{\alpha}{\gamma}_2) {\gamma}^{0123}, \quad {\mathfrak{d}}_{\alpha} {\gamma}^{012}=-({\mathfrak{d}}_{\alpha}{\gamma}_3) {\gamma}^{0123}. $$

对于斜对称张量${\cal{S}}={\cal{S}}_{\mu\nu{\omega}}{\gamma}^{\mu\nu{\omega}}={\cal{S}}_{\alpha}{\gamma}^{\alpha}{\gamma}^{0123}$, 我们有协变导数

$$ {\nabla}_{\alpha} {\cal{S}}=({\nabla}_{\alpha}{\cal{S}}_\mu){\gamma}^\mu{\gamma}^{0123}, \quad {\nabla}_{\alpha}{\cal{S}}_\beta={\partial}_{\alpha}{\cal{S}}_{\beta}-({\Gamma}^\mu_{{\alpha}{\beta}}+ {\cal{T}}^\mu_{{\alpha}{\beta}}){\cal{S}}_\mu. $$

其中${\nabla}_{\alpha}{\cal{S}}_\mu$ 和真向量的协变导数相同。对于挠率${\cal{S}}={\cal{T}}$，我们有${\nabla}_{\alpha}{\cal{T}}_\beta={\partial}_{\alpha}{\cal{T}}_{\beta}-{\Gamma}^\mu_{{\alpha}{\beta}}{\cal{T}}_\mu$.

上面这套微分定义可以简化微分几何中的一些概念和运算，并可以推广到一般的超复数系统中。例如，我们来讨论附着于光滑曲线 $C$ 的移动标架的Frenet-Serret公式。为方便起见，我们取弧长 $s$ 作为参数，则可通过 $C$ 的以下导数构造 $n$ 个向量

$$ \{\tau_k=\frac {d ^k {\textbf x}}{ds^k};k=1,2,\cdots,n\}.  $$

若在 ${\textbf x}_0$ 处 $\tau_1\wedge\tau_2\wedge\cdots\wedge\tau_n\ne 0$，则 $\tau_k$ 线性无关，并且等价于基向量 $\{{\textbf e}_a\}$。因此，我们可以通过 Gram-Schmidt 过程，从 $\{\tau_k\}$ 构造出一个曲线的本征标架 $\{\textbf{E}_a\}$。 可以证明，若 $p\ne 0$ 且 $\tau_1\wedge\tau_2\wedge\cdots\wedge\tau_n\ne 0$，则下列向量序列

$$ \textbf{E}_1=\frac {\tau_1}{||\tau_1||}, \textbf{E}_2=\frac {\tau_2\wedge \tau_1}{||\tau_2\wedge \tau_1||} \textbf{E}^1,\cdots, \textbf{E}_n =\frac {\tau_{n}\wedge\cdots\wedge\tau_2\wedge\tau_1}{|| \tau_{n}\wedge\cdots\wedge\tau_2\wedge\tau_1 ||} \textbf{E}^1\textbf{E}^2\cdots\textbf{E}^{n-1},  $$

构成 ${\textbf x}_0$ 处切时空的正交归一基向量。其度量由以下公式给出

$$ h_{ab}\equiv \textbf{E}_a\cdot\textbf{E}_b={\rm diag}(1,\pm 1,\cdots, \pm 1)=h^{ab},\quad \textbf{E}^a=h^{ab}\textbf{E}_b.  $$

其中 $||\cdot||$ 是 Clifford-Grassmann 数的 Gonzalez范数。

可以证明本征标架满足以下Frenet-Serret公式

$$ \frac {d }{ds} \left( \begin {array}{c} \textbf{E}_1 \\ \textbf{E}_2 \\ \vdots \\ \textbf{E}_n \end {array} \right) =\left( \begin {array}{cccccc} 0 & \kappa_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\kappa_1 & 0 & \kappa_2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & -\kappa_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \kappa_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\kappa_{n-1} & 0 \end {array} \right) \left( \begin {array}{c} \textbf{E}^1 \\ \textbf{E}^2 \\ \vdots \\ \textbf{E}^n \end {array} \right),  $$

其中 $\kappa_a(s)\in \mathbb{R}$ 为曲线 $C$ 的曲率、挠率等特征量。通过选择 $\pm \textbf{E}_k$ 的符号，可让所有 $\kappa_a>0$。其超复数形式为

$$ \frac{d \textbf{E}^{k}}{ds}=\textbf{E}^k\textbf{M}-\textbf{M}\textbf{E}^k,\quad \textbf{M} \equiv \frac 1 2 \sum_{a=1}^{n-1} \kappa_a\textbf{E}^a\textbf{E}^{a+1}.   $$

对于 $k$-向量

$$ \textbf{F} =\frac 1 {k!} F_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma ^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}, $$

定义外微分${\textbf d}$ 和余微分$\delta $ 分别为

$$ {\textbf d} \textbf{F} =\frac 1 {k!} \gamma ^{\alpha \mu_1\mu_2\cdots\mu_k} \partial_\alpha F_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k},\quad \delta \textbf{F} = \frac 1 {(k-1)!} \gamma ^{\nu_1\nu_2\cdots\nu_{k-1}} \partial_\alpha F^\alpha_ {~\nu_1\nu_2\cdots\nu_{k-1}}.   $$

则在无挠情况下，我们有

$$ {\textbf d}^2 \textbf{F} = \delta ^2 \textbf{F} =0, \ \nabla \textbf{F} =({\textbf d} +\delta )\textbf{F} ,\  \nabla^2 \textbf{F} =({\textbf d} \delta +\delta {\textbf d})\textbf{F} , $$

其中 $\nabla=\gamma ^\alpha \nabla_\alpha $。

 从上面的结论可以看出，如果按概念的自然本性来定义，复杂的问题可以变得简洁明了，便于理解，细节可参阅《克利福德几何代数中基的微分运算》。