牛顿力学的基本对象是质点，其数学模型是狄拉克的$\delta(\vec x-\vec X)$，它是刚体、流体和弹性体等连续介质模型的基础。牛顿三定律是针对质点的，质点的场论基础是旋量场方程。下面我们重点分析一些宏观物体的分析力学和有关对称性问题，例如拉格朗日量和机械能守恒定律的移动变换等，这些问题曾引起很多争论[1,2,3]。下面以谐振子为例，详细计算系统的能量守恒定律。

谐振子运动相当于一个质点的一维运动。在与支架相对静止的坐标系中，设平衡点坐标为$x_0$，势能最常见的是抛物线势能$V=\frac 1 2 k (x-x_0)^2$，动能为$T=\frac 1 2m \dot x^2$，我们有谐振子拉格朗日量

\begin{eqnarray} {\cal L}= T-V=\frac 1 2 m\dot x^2-\frac 1 2 k (x-x_0)^2. \end{eqnarray}

由于${\cal L}$与时间没有显式相关，也即$\frac \partial{\partial t}{\cal L}=0$，因此满足时间平移不变性。根据诺特定理，系统的机械能

\begin{eqnarray} E=\frac {\partial {\cal L}}{\partial \dot x}\cdot \dot x-{\cal L}=T+V \end{eqnarray}

是一个守恒量。

作坐标的伽利略变换$t=t’, x=x’-u t’$，在新坐标系中我们有势能和动能分别为 

\begin{eqnarray} V’=\frac 1 2 k (x’-x’_0)^2=\frac 1 2 k (x-x_0)^2=V,\qquad T’=\frac 1 2 m \dot x’^2= \frac 1 2 m (\dot x+u)^2. \end{eqnarray}

由此可得新坐标系中的拉格朗日量为

\begin{eqnarray} {\cal L}’= T’-V’=\frac 1 2 m(\dot x+u)^2- \frac 1 2 k (x-x_0)^2, \end{eqnarray}

这里可以把坐标$x$看成新坐标系中的广义坐标。由于${\cal L}’$也与时间显式无关，因此总能量守恒

\begin{eqnarray} E’=\frac {\partial {\cal L}’}{\partial \dot x}\cdot \dot x-{\cal L}’= m(\dot x+u) \dot x-\frac 1 2 m(\dot x+u)^2+ \frac 1 2 k (x-x_0)^2 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}~~= T+V-\frac 1 2 m u^2=E-\frac 1 2 m u^2.\end{eqnarray}

由于$E$是守恒量，而$-\frac 1 2 m u^2$是常数，因此$E’$也是守恒量。

这里有以下几点容易出错，需要注意概念的真实含义：

1）新坐标系中诺特意义下的守恒能量并非$T’+V’=\frac 1 2 m(\dot x+u)^2+\frac 1 2 k (x-x_0)^2$。

2）势能项是$V’=\frac 1 2 k (x’-x’_0)^2=V$，而非通常简写的 

\begin{eqnarray} V=\frac1 2 k x^2,\qquad V’=\frac 1 2k(x’-u t’)^2. \end{eqnarray}

3）诺特意义下的守恒能量并非简单的总的机械能，它包含了动系中支架对谐振子系统作的功。

分析力学必须严格按照定义进行计算，避免受到弹簧和支架之类的干扰。例如太阳与地球组成的双星系统也是如此。如果考虑整个系统的拉格朗日量，作伽利略变换时，要把太阳和地球的坐标和速度同时变换，因此拉格朗日量也是与时间无关的，总的能量也是守恒的。由于没有支架之类的外力作用，系统的总的机械能也是守恒的。

如果把太阳简化为处于椭圆焦点上的约化质量，系统相当于一个质点的平面运动，此时和谐振子的情况一样，必须考虑系统在诺特意义下的总能量，简单的动能和势能相加可能会导致概念错误。对于刚体和流体运动，情况更为复杂。在没有现成结论时，必须依据质点系统的牛顿力学结合约束条件来建立分析力学理论。这也相当于从经典力学的第一性原理出发，构建复杂系统的完整动力学。

昨天看陈方培老师的博文[3]时，得知陈老师刚刚过世了。他对相对性原理的理解是正确的，特写此博文表示敬意和悼念。

[1] 对一道困扰中国力学教学界40多年习题的思考

[2]  一道中学生物理竞赛题的标准答案反映出的根本错误

[3]  相对性原理