这是一个很基础的问题，由于没有引起学界的足够重视，产生了一些严重的后果。我们首先来看一个最简单的例子，即单位球面的坐标表示。通常我们用球坐标系来描述球面，相当于经纬度，只是零点设置不同。如图1的p点，其球面坐标为$(\theta,\varphi)$，线元或距离公式为

$ds^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2$.     (1)

我们也可以用平面坐标来表示p点，例如通过北极N和p点作射线与赤道平面相交于P点，其直角坐标为$(x,y)$。显然，这个映射把南极映射为原点，把单位球面上不同纬度的圆映射为赤道平面上不同的同心圆，把北极映射为无穷远。除了北极外，球面上的点与平面上的点是一一对应的双射，因此$(\theta,\varphi)$和$ (x,y)$都是描述单位球面的坐标系，而$(\theta,\varphi)\leftrightarrow(x,y)$是一个可逆可微的坐标变换，具体变换为

$\theta=2\arctan\left(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}} \right) ,\quad \varphi=\arctan\left(\frac y x\right),$      (2)

$x=\frac {\cos \varphi}{\tan(\theta/2)},\quad y=\frac {\sin \varphi}{\tan(\theta/2)}.$       (3)

距离公式（1）变为

$ds^2 =\frac 4 {(1+x^2+y^2)^2}(dx^2+dy^2).$  (4)

线元向量为

$d {\bf r}_\theta = {\bf e}_1 d\theta , \quad d{\bf r}_\varphi = {\bf e}_2 d\varphi.$       (5)

图1 单位球面的经纬坐标系$(\theta,\varphi)$与射影坐标系$(x,y)$

我们再来看一下地球仪与世界地图，地球仪相当于单位球面，而世界地图也相当于一套描述单位球面的坐标系，通常采用等积变换$(\theta,\varphi)\leftrightarrow (u,v)$，也就是球面上任意两块面积相等的区域，在世界地图上面积也是相等的。

从上面描述单位球面的例子可以总结以下几点：1、单位球面是一个客观存在，是需要精确描述的对象。2、坐标系是一套可以因人而异的标识系统，因此是主观的。3、坐标系必须满足一些数学上的要求，例如坐标必须与球面上的点是一一对应的，坐标具有连续性和光滑性，球面上的一个小圆在坐标系中也必须是一条光滑的封闭曲线。4、不同坐标系之间存在可逆可微的变换，变换中的不同坐标都对应原球面上的同一点$p \leftrightarrow (x,y) \leftrightarrow (\theta,\varphi) $.  5、不变量$ds$是球面上线段微元的长度，因此$ds$是一个客观量，而不是坐标系中对应线段的长度。6、坐标微元$(dx,dy),~(d\theta, d\phi),~ (du,dv)$都不是矢量，而是自变量，只有p点的基向量${\bf e}_1 $和${\bf e}_2$才是矢量。由于坐标微元的变换规则与基向量的变换规则相关，微分几何中的标架定义才没有出问题。下图中的黑体字微元向量实际上是$d{\bf x}={\bf e}_x dx,\quad d{\bf y} = {\bf e}_y dy.$ 

图2 坐标$(x,y)$与线元向量$(d{\bf x},d{\bf y})$的关系

狭义相对论导致很多歧义和悖论，都是因为没有正确理解客观时空与主观坐标系的关系引起的。对于平直时空，直角坐标系之间的变换一定是线性的。例如和地面绑定的参考系中，测量铁轨枕木之间的距离是等间隔排列的。那么在匀速移动火车上测量枕木的间隔，显然也应该是等间隔的。但对于喜欢看西游记和武侠小说的人，给他们讲在火车上看到枕木间隔像正弦函数一样变化，大概他们也会相信。同样，在地面上燃放一箱烟花，如果地面上看到每隔1分钟发射一个烟花，那么在火车的坐标系中测得发射烟花的时间间隔也必须是等时。这里的测量是坐标值，不能包括观察者看到烟火爆炸的光线传播时间，因为光线传播是一个物理过程，坐标系设定是一个纯粹几何概念，因此不包含这个物理过程。这也是一个容易引起曲解的问题，包括光线传播过程的时间计算和解释参见《Some Subtle Concepts in Fundamental Physics,  arXiv:0901.0309》。这些现象表明，描述平直时空的不同直角坐标系之间的变换规则一定是线性的。问题的关键是，和公式（1）一样，时空中不变的距离公式$ds$应该是怎样的？有了距离公式其余都成了简单的数学问题。牛顿的绝对时空观是一种解决方案，认为地面和火车上观测的空间间隔和时间间隔都是一样的。把时空看成一个整体的相对论时空观也是一种解决方案，此时的不变量是$ds^2=dt^2-dr^2$. 到底哪个方案正确不是理论问题，而是实验问题。狭义相对论是纯粹几何学，坐标系是一种对应关系的数学设定，不能包括观察者看烟火爆炸的光线传播过程，而是可以用坐标系精确地描述这个物理过程。

观测表明真空中的光速是与坐标系无关的不变量，这相当于时空距离公式就是$ds^2=dt^2-dr^2$，因此坐标系之间的变换规则就是洛伦兹变换，时间空间是一个相互关联的整体。但应该牢记的是，和上面讨论的单位球面一样，时空是客观的，而坐标系则是因人而异的主观标识系统。时空的客观性导致一个特殊参考系的存在，仅在这个坐标系中时间是客观同步的，而其他坐标系中，同时面只是理论上的，并非客观存在。仅在这个特殊坐标系中，静止粒子的原时过得最快，相对于这个坐标系运动的粒子的原时都慢一些。在现实宇宙中这个坐标系就是空间坐标相对于微波背景辐射静止的自然坐标系，自然坐标系中的时间是统一的宇宙时，量子力学中的能量本征态只有相对于这个自然坐标系才能定义，经典力学中的诺特荷积分也只有在这个自然坐标系中才有客观意义。以前关于同时性的解释存在一些概念上的问题，这个已在《相对论中的悖论与解决，arXiv:0902.2032》、《同时性的客观性与唯一性》和《NATURAL COORDINATE SYSTEM IN CURVED SPACE-TIME，gr-qc/0612176》反复讨论过。这是一个很微妙的问题，只有心思缜密和逻辑严谨的人才能体会到。

光速不变是时空度规的局部性质，因此认为宇宙遥远地方的膨胀速度大于光速的概念是错误的，宇宙中任何地方向地球发出的光总会到达地球，光锥的定义是$ds=0$。粒子世界线是类时的，因此总是满足$ds^2>0$. 写成标准平方和形式为

$ds^2=c^2g_{tt} \delta t^2-g_{xx}\delta x^2 –g_{yy} \delta y^2 –g_{zz} \delta z^2$  (6)

则粒子的4维逆变速度定义为$u^a=dx^a/ds$，通常意义下的时间定义为$\delta\tau=\sqrt{g_{tt}} \delta t$, $x$方向的空间距离为$\sqrt{g_{xx}} |\delta x|$, $x$方向的速度定义为$v_x=\sqrt{g_{xx}} \delta x/ \delta \tau$. 因此$|v|<c$是类时曲线的必然结果。包括一些专业人士对这些概念并没有充分理解，因此产生一些混乱的观点。