[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

以下是收集到的部分资料。

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   在科学的入口处，正像在地狱的入口处一样，必须提出这样的要求：

   “这里必须根绝一切犹豫；这里任何怯懦都无济于事。”

一、数学家们说

1.1  柯西（人类历史上数学家综合排行榜第一）

   根据胡作玄老师的《第三次数学危机》：

   波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

   在初中学习“函数”时，我学过“函数”有“列表法、曲线法、公式法”，共计三种具体的“表示”方式。

   但是，随着我们的努力学习和提高，逐渐忘记了“函数的列表法、曲线法”，几乎只有柯西老师还记得“函数不一定要有解析表达式。”^[1]

1.2  柯尔莫哥洛夫

   大数学家柯尔莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-04-25 ~ 1987-10-20）认为：

   研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11383.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1401.html

1.3  阿诺德

   Влади́мир И́горевич Арно́льд, Vladimir Igorevich Arnold, 1937-06-12 ~ 2010-06-03，73。

   阿诺德老师在 1998年《On teaching mathematics》里说：

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

   In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.

   与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。

   The mathematical technique of modelling consists in ignoring this trouble and speaking about your deductive model as if it coincided with reality. The fact that this path, which is obviously incorrect from the point of view of natural science, often leads to useful results in physics is called "the inconceivable effectiveness of mathematics in the natural sciences" (or "the Wigner principle").

   数学建模方法忽略这些麻烦，把所得到的模型当成真与现实世界相吻合。从自然科学的观点来看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的结果，该事实被称为“数学在自然科学中不合理的有效性”（或叫做“维格纳原理”）。

   Here we can add a remark by I.M. Gel′fand: there exists yet another phenomenon which is comparable in its inconceivability with the inconceivable effectiveness of mathematics in physics noted by Wigner - this is the equally inconceivable ineffectiveness of mathematics in biology.

   我在此提一下盖尔方德一个观点：还有另一类与魏格纳注意到的数学在物理中不可思议的有效性相仿的现象——即数学在生物学中也同样有不可思议的有效性。

二、逻辑学

   更一般地，科普中国，2021-12-31，抽象思维

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248

   抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。

   研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。

三、人类的智能

3.1  客观世界是无限复杂的，无限发展的

   “客观世界是无限复杂的，不仅从广度上看它是无限的，而且从深度上看它也是无限的。这就决定着我们的具体的认识只能反映事物的某些方面的本质，而不可能穷尽其所有本质。另一方面，整个客观世界又是无限发展的，而认识一旦形成又具有一定的稳定性，同时相对于客观事物而言也就具有了惰性。这就决定着我们的认识如果不发展，就不能正确反映客观世界。”直接引用，感谢！

   “真理是包含在认识过程本身中，包含在科学的长期的历史发展中，而科学从认识的较低级阶段上升到较高级阶段，愈升愈高，但是永远不能通过所谓绝对真理的发现而达到这样一点，在这一点上它再也不能前进一步，除了袖手一旁惊愕地望着这个已经获得的绝对真理出神，就再也无事可做了。”

   “造成困难的从来就是思维，因为思维把一个对象的实际联结在一起的各个环节彼此区分开来”。

   “如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗陋化，不加以划分，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动。思想对运动的描述，总是粗陋化、僵化。不仅思想是这样，而且感觉也是这样；不仅对运动是这样，而且对任何概念也都是这样。”

3.2  2023-06-02，思维与存在的同一性/identity of thinking and being

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=727619&Type=bkzyb&SubID=137881

   思维和存在的同一性问题是人类实践活动中的普遍性问题，解决思维和存在的同一性的基础也只能是实践。在社会实践中，一方面存在可以转化为思维，即客观现实通过实践反映在人脑中成为观念形态；另一方面，思维也可以转化为存在，即思想、观念通过实践变为客观现实。在这种相互转化的过程中，实践产生关于存在的思维，检验关于存在的思维，发展关于存在的思维，使思维和存在不断在新的水平上达到具体的、历史的统一。

3.3  2023-07-18，实践/practice/仲佰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=727625&Type=bkzyb&SubID=137882

   实践被理解为人的生活过程，即主体与客体、人之能动性与受动性相统一的感性的生活过程，其最基础的形式是物质生活资料的生产。

   实践是人的存在方式或生活方式等观念，正在逐渐成为学界的共识。

3.4  斯佩里左右脑半球的功能

   斯佩里（Roger Wolcott Sperry, 1913-08-20 ~ 1994-04-17）以精确的实验证实，大脑两半球在功能上有明显的分工，左半球同抽象思维、象征性关系和对细节的逻辑分析有关，它具有语言（包括书写语言）的、理念的、分析的、连续的和计算的能力，它能说、写和进行数学计算，在一般功能方面它主要是分析，犹如计算机一样。在控制神经系统方面，它也是比较积极，执行任务较多而且起主导作用的半球。右半球则与知觉和空间有关，处理单项的事物而不是数理的排列。它具有音乐的、绘画的、综合的、整体性和几何—空间的鉴别能力。左、右两半球在功能上是互补的，既各司其职又相互配合。若以音乐为例，左半球负责旋律或和声右半球则负责节奏。对于语言，左半球分管词意和连续的一面，右半球分管声调。因此，人脑好比两套不同类型的信息加工控制系统，它们相辅相成，紧密配合，构成了一个统一的控制系统。

图1  斯佩里 Roger Wolcott Sperry, 1913-08-20 ~ 1994-04-17, 80

https://www.nobelprize.org/images/sperry-13337-portrait-mini-2x.jpg

https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1981/sperry/facts/

   左半脑主要负责逻辑理解、记忆、时间、语言、判断、排列、分类、逻辑、分析、书写、推理、抑制、五感(视、听、嗅、触、味觉)等，思维方式具有连续性、延续性和分析性。因此左脑可以称作“意识脑”、“学术脑”、“语言脑”。

   右半脑主要负责空间形象记忆、直觉、情感、身体协调、视知觉、美术、音乐节奏、想像、灵感、顿悟等，思维方式具有无序性、跳跃性、直觉性等。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=38213&Type=bkzyb&SubID=42778

图2  大脑左右半球功能不对称

3.5  人类思维的分类

   根据思维的形态，思维可分为具体思维和抽象思维。具体思维指个体以动作或形象来进行的思维活动；抽象思维指个体运用概念进行判断、推理的思维活动。

   根据思维活动是由外部事物引起还是由记忆中的事物引起，思维可分为目的指向性思维和联想性思维。如果思维活动是由一定的问题引起，并指向问题解决，这种思维活动称为目的指向性思维；如果思维活动是没有明确目的，且很少受意识控制，带有自发联想的性质，这种思维活动称为联想性思维。

   思维是客观现实间接的和概括的反映。思维能力常见的分类有：抽象逻辑思维、形象思维、动作思维、直觉、灵感、顿悟等。

   抽象逻辑思维是运用概念进行判断、推理的思维活动，是认识事物本质和规律的主要方法。

   形象思维和动作思维需要借助表象和动作完成。成人是在抽象思维达到高度发展的水平上运用动作思维和形象思维的，因此它们也具有高度的概括性。人的这几种思维是密切联系、互相渗透的，人在解决问题的过程中经常需要运用各种思维。

   此外，直觉、灵感、顿悟也被证实存在，是现在人类认识还不很清楚的思维方式。

3.6  多元智力理论，霍华德·加德纳

   Theory of multiple intelligences，多元智力理论。

   霍华德·加德纳（Howard Gardner，1943-07-11 ~ ）于 1999 年定型的“多元智力理论”，核心是个人有潜力发展出八种独立智能或智能领域的组合。 这个命题是基于加德纳的断言，即个人的认知能力不能用一个单一的衡量标准来充分表示，比如智商分数。 相反，根据这一理论，由于每个人都表现出不同程度的独立智力，因此独特的认知概况将更好地代表个人的优势和劣势。 重要的是要注意，在这个理论中，每个人在某种程度上都拥有所有的智能。

   At its core, it is the proposition that individuals have the potential to develop a combination of eight separate intelligences, or spheres of intelligence; that proposition is grounded on Gardner’s assertion that an individual’s cognitive capacity cannot be represented adequately in a single measurement, such as an IQ score. Rather, because each person manifests varying levels of separate intelligences, a unique cognitive profile would be a better representation of individual strengths and weaknesses, according to this theory. It is important to note that, within this theory, every person possesses all intelligences to some degree.

   多元智力理论里人类的八种独立智能如下：

（1） linguistic 言语-语言智力，

（2） musical 音乐-节奏智力，

（3） logical-mathematical 逻辑-数理智力，

（4） spatial 视觉-空间智力，

（5） bodily-kinesthetic 身体-动觉智力，

（6） interpersonal 交往-交流智力，

（7） intrapersonal 自知-自省智力，

（8） naturalistic 自然观察智力。

3.7  普朗克

   1933年2月17日，普朗克在柏林为德国工程师协会所做演讲中说：

   “科学是内在的整体，它被分解为单独的整体不是取决于事物的本身，而是取决于人类认识能力的局限性。实际上存在着从物理到化学，从生物学和人类学到社会学的连续的链条，这是任何一处都不能被打断的链条。”

   Denn die Wissenschaft bildet nun einmal sachlish genormmen eine innerkich geschlossene Einheit. Ihre Trennung nach verschiedenen Fächern ist ja nicht der Natur der Sache Begründet, sondern entspingt nur der Begrenztheit des menschlishen Fassungs, vermögens, welche zwangsläufig zu einer Arbeitsheilung führt. In der Tat zieht sich ein kontinuierliches Band von der Physik und Chemie über die Biologie und Anthropologie bis zu den sozialen und Geisteswissenschaften, ein Band, das sich an keiner Stelle ohne Willkür durchschneiden läßt.

参考资料：

[1] 胡作玄. 第三次数学危机[M]. 成都: 四川人民出版社，1985-04.

[2] 伊藤清. 柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩[J]. 数学文化，2010,1 (3): 6-12.

https://www.global-sci.org/intro/article_detail/mc/11383.html

https://www.global-sci.org/intro/articles_list/mc/1401.html

[3] Vladimir I Arnol'd (Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

[4] 2023-06-02，思维与存在的同一性/identity of thinking and being/仲佰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=727619&Type=bkzyb&SubID=137881

   思维和存在的同一性问题是人类实践活动中的普遍性问题，解决思维和存在的同一性的基础也只能是实践。在社会实践中，一方面存在可以转化为思维，即客观现实通过实践反映在人脑中成为观念形态；另一方面，思维也可以转化为存在，即思想、观念通过实践变为客观现实。在这种相互转化的过程中，实践产生关于存在的思维，检验关于存在的思维，发展关于存在的思维，使思维和存在不断在新的水平上达到具体的、历史的统一。

[5] 2022-01-20，具体思维/concrete thinking/王甦撰，姚翔修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=26666&Type=bkzyb&SubID=42597

[6] 2022-01-20，运算能力形成/formation of operational ability/陈家耀，刘儒德，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=172599&Type=bkzyb&SubID=133906

[7] 科普中国，2021-12-31，抽象思维

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248

   抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。

   研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。

[8] 2023-07-18，实践/practice/仲佰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=727625&Type=bkzyb&SubID=137882

   实践被理解为人的生活过程，即主体与客体、人之能动性与受动性相统一的感性的生活过程，其最基础的形式是物质生活资料的生产。

   实践是人的存在方式或生活方式等观念，正在逐渐成为学界的共识。

[9] Roger Sperry. Some effects of disconnecting the cerebral hemispheres [J]. Science, 1982, 217(4566): 1223-1226. 

DOI: 10.1126/science.7112125

https://www.science.org/doi/10.1126/science.7112125  

[9-2] Roger Sperry, 张尧官, 方能御 译. 分离大脑半球的一些结果[J]. 世界科学. 1982,(09): 1-4,64.

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SJKE198209000.htm

[10] 张尧官, 方能御. 1981年诺贝尔生理学、医学奖获得者罗杰·渥尔考特·斯佩里[J]. 世界科学, 1982, (1): 47-49.

https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SJKE198201014.htm

[11] Roger W. Sperry, The Nobel Prize in Physiology or Medicine 1981 [ED/OL]

https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1981/sperry/facts/

[12] multiple intelligences, psychological theory, Britannica [ED/OL]

https://www.britannica.com/science/multiple-intelligences

[13] 王媛. 为一段流浪的名人名言找到故乡[J]. 图书馆建设, 2019, (2): 158-162. 发布日期: 2019-03-26.

http://lib.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=7001668228&from=Qikan_Search_Index

https://kns.cnki.net/kcms2/article/abstract?v=3uoqIhG8C44YLTlOAiTRKibYlV5Vjs7iLik5jEcCI09uHa3oBxtWoA6esL2-JlZlcmZ8Q5-oHYPiIBVAUJaMqySZrlGwCX44&uniplatform=NZKPT

http://tsgjs.org.cn/CN/abstract/abstract486.shtml

[24] S. H. Lui, An Interview with Vladimir Arnol'd [J], NOTICES OF THE AMS, 1997, 44(4): 432-438

https://www.ams.org/journals/notices/199704/index.html

[15] 张涵信，周恒，童秉纲. 从流体力学发展看科研成果评价[N]. 科学时报, 2011-08-03 第A1版(要闻)

https://news.sciencenet.cn/sbhtmlnews/2011/8/247224.html

   对湍流的研究一开始就有两种不同的着重点，一种是从理论推理出发，以简单的湍流为研究对象，再试图推广至复杂的湍流问题。另一种则是根据实际的需求，从观察物理现象出发，找出现象的物理本质和关键问题，提出简化模型，进行分析计算。

   80多年的实践证明，第一种方法虽然发表的论文数以万计，但仍不能解决实际应用的需求；第二种方法虽然开始时也要在一定程度上依靠经验，但其将研究对象选定为管流、边界层流等实际存在的湍流，在实验和计算上做了许多工作，既解决了实际湍流计算中的众多需求，还同时使对湍流本质的研究达到了新的高度。

相关链接：

[1] 2024-06-25，[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter system）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439715.html

[2] 2024-05-19，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[3] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434414.html

[4] 2022-08-04，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[5] 2024-07-02，[偶感，随笔，科普] 抽象（逻辑）思维的局限性（关联：丘奇-图灵论题 The Church-Turing thesis ）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1440701.html

[6] 2024-05-25，[讨论，信息，计算] 屏幕画面问题：真的，还是假的？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1435609.html

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