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施瓦西黑洞与拉普拉斯黑洞完全相同

虽然用广义相对论研究黑洞已经将近100年了，然而仍有一些问题至今无法给出合理的解释，而令人困惑，其中一个问题是为什么广义相对论的施瓦西黑洞与牛顿力学的拉普拉斯黑洞完全相同？ 由于黑洞概念出自两个不同的物理理论，根据这两个理论可以各自推出一个黑洞.历史上第一个黑洞是拉普拉斯用牛顿力学方法得到的.给定一个质量为M，半径为R的星球，并假设星球的质量是均匀分布的，再给定一个静止质量为的质点，<<M，下面研究质点在星球引力作用下的运动规律，由于讨论静态球对称的情况，因此可进一步假设质点只在星球的径向做直线运动.首先将球坐标系固定在星球M上，并令坐标原点与星球球心相重合.

在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为：　(1)，公式（1）中的是质点的径向速度，在球对称问题中，速度u只是r的函数，因此有：  (2)，将公式(2)代入公式(1)中，整理后可得：（3），对上式积分，并注意边界条件：r =时，u = 0，积分后可得速度公式为：  　 (4)，在后面研究中，需要经常使用参数，即速度与光速之比，由公式（4)可得：                             (5)

注意公式（3）的右端只是的函数，因此可以引入势函数，其中满足：　 (6)，对上式积分，并引入边界条件r =时，=0于是得到： 　　(7)，将引力势代入运动方程(3)中，则牛顿引力场中的运动方程为：                  (8)，对公式(8)取积分，并注意利用公式(2)，再代入边界条件，在r =时，u = 0，= 0于是得到：  (9)，公式(9)就是牛顿引力场的能量守恒方程.按照牛顿引力理论，一个质点的动能若超过它的引力势能，质点就能摆脱星球的引力而逃逸，对于一个质量为M，半径为R的星球来说，在它表面上一个质量为质点，根据能量守恒方程(9)，该质点能够从星球表面逃逸的最小速度很容易算出来，把(7)代入(9)，我们有：  (10)，由公式(10)可求得逃逸速度：                            (11)，从上式可以看出，质量越大半径越小的星球，其逃逸速度越大.

令逃逸速度等于光速，由方程(11)求出半径，这个半径就是拉普拉斯半径.用这一方法，我们最终得到：                             (12)，式中c代表光速，称为拉普拉斯半径，利用公式(11)很容易得到，当星球的半径小于拉普拉斯半径时，即 ≤时，我们有：≥c  (1-3)，这个公式表明，如果光也同一般物体一样受万有引力作用，那么在≤的条件下，光线就不能克服引力场而逃逸.换句话说，根据牛顿引力理论，我们可以得出宇宙中存在这样一种星球，它的半径满足≤的条件，即：                         ≤   (14)，这种星球的引力是如此之强，光也不能从其表面逃脱，以至一个远方的观测者无法接收到从星球表面发出的光，这种星球拉普拉斯称其为看不见的星，也就是今天所说的黑洞.

我们知道，黑洞问题属于强引力问题，在强引力场质点的速度可以接近光速.后面我们将证明，当用相对论的方法计算的质点速度大于光速的0.79倍时，用牛顿力学公式（4）得出的速度就会大于光速，而此时牛顿力学早已不适用了.因此，黑洞问题是不能用牛顿力学研究的.然而，在200多年前，拉普拉斯在不知道牛顿力学的适用范围的情况下，用牛顿力学研究了黑洞，并推导出拉普拉斯黑洞.虽然用牛顿力学可以推导出黑洞，由于黑洞属于强引力问题，超出了牛顿力学的适用范围，因此，拉普拉斯推导黑洞的方法是错误的.历史上的第二个黑洞是施瓦西黑洞，这个黑洞是施瓦西从爱因斯坦场方程中推导出来的.1916年，在爱因斯坦广义相对论发表后不久，施瓦西导出了爱因斯坦真空场方程的一个准确解，即静态球对称引力场的施瓦西解：(15)，施瓦西解描述的是一个球对称天体的外部空间.从(15)可以看出，当                              (16)时，(15)中的第二项趋于无穷大，即：                                 (17)，这表明，球面是施瓦西解的一个奇面，其中称为施瓦西半径： =   (18)

在广义相对论里，球面称为施瓦西视界，也就是施瓦西黑洞的外边界.一个星球如果它的半径小于施瓦西半径，即：                         R≤ (19)，这个星球就被称为施瓦西黑洞.

   前面我们用牛顿力学研究黑洞得出：对于任何给定质量的星球，都存在一个临界半径，当一个星球的半径小于临界半径时，这个星球就是黑洞.用牛顿力学得出的临界半径是拉普拉斯半径，一个质量为M的星球，它的拉普拉斯半径由公式                       (12) 确定.将施瓦西半径公式(18)与拉普拉斯半径公式(12)相对比，可以看出    (20)，即广义相对论中的施瓦西黑洞与牛顿力学中的拉普拉斯黑洞二者完全重合.

现在出现一个问题：同一个结果——静态球对称的黑洞，可以用两种方法推导出来，一种是牛顿力学的方法，另一种是广义相对论的方法，而且人们已经知道牛顿力学的方法是错误的，在这种情况下，人们不禁会问：

① 为什么广义相对论的施瓦西黑洞与牛顿力学的拉普拉斯黑洞完全相同？

② 如果认为广义相对论的结果是正确的，而拉普拉斯推导黑洞的方法是错误的，那么，为什么拉普拉斯用错误的方法，还能得到正确的结果呢？

目前在广义相对论的许多书里，没有对这个问题进行详细的分析，少数几本书给出一个简单的解释：

例如文献【1】对这个问题是这样解释的：有趣的是今天从广义相对论得出的黑洞条件，与当年拉普拉斯等人从牛顿理论给出的暗星条件完全相同.从今天的眼光看，拉普拉斯的推导犯了两个错误，第一把光子的动能写成了，第二把广义相对论的时空弯曲当作了万有引力.这两个错误相互抵消，最终却得到了正确的结果.

笔者认为电磁质量光子的能量应该是，式子的中m为电磁质量，引力质量的动能公式为0.5.

笔者认为广义相对论是从万有引力定律出发得到的，只是考虑到引力质量之间的相互吸引作用，没有考虑到它的反作用力——弱相互作用得到的结果类似.

参考文献

【1】刘辽，赵峥，田贵花，张靖仪. 黑洞与时间的性质. 北京：北京大学出版社， 2008.