Zmn-1196 薛问天: 谈【运算】概念和【函数】概念等。评一阳生《1191》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1191》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

谈【运算】概念和【函数】概念等。

评一阳生《1191》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一、【运算】概念和【函数】概念。

1，运算（operation）通常指的是对一个或多个数值或对象进行某种规则的处理，以得到一个结果。函数 (Funtion)，比较具体，指两个集合间的映射。

运算这个述语比较宽泛，函数可以认为是一种运算，如算术函数的加、減、乘，除，可以说成是算术运算。另外对函数求导数，求积分等可以称作是运算，就不称为函数，而称为运算。

把函数称为是运算，这没有错，可以把加法函数称为加法运算，把后继函数称为后继运算，这都是可以的。

我所说的后继函数，后继运算，这都指的是同一个概念，并不会【歪曲数学理论的内容】。

一阳生先生说【皮亚诺公理和自然数的集合论定义中，都是说【后继数】概念，根本没有【后继运算】概念存在，更谈不上说【后继运算】是原始概念。薛老师不能歪曲数学理论的内容和人所共知的事实！】

这种说法不对。皮亚诺公理的第二条虽然只说了【后继数】，没有明说【后继函数】。但是根据函数的定义，所说的【每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，‌即a'也是自然数。‌】就是定义了一个函数，我们将这个函数称为【后继函数】或【后继运算】，这就是皮亚诺公理给出的【原始概念】，根本没有【歪曲数学理论的内容和人所共知的事实】。

2，可以用数学归纳法用P(0)成立和若P(n)成立则P(n+1)成立，证明对于所有的自然数n，P(n)成立。

例如令P(n)=【这样的定义规则使用n次，遍历不了全部自然数】。

即可证明对于所有的自然数n，【这样的定义规则使用n次，遍历不了全部自然数】。

注意这个由数学归纳法证明的全称量词(∀n)P(n)，所有的n指的是所有n中每个元素的属性，不是所有元素整体的属性。每个n都是有穷数，所以任何n，所说的n次，只是有穷次。

同样如果令P(n)=【n可由0经有穷次后继运算得到】，即可用归纳法证明，对于所有的自然数n，【n可由0经有穷次后继运算得到】。同样，这里所说的【所有的n】指的是所有n中每个元素的属性，不是所有元素整体的属性。

由于所有的n的整体有无穷多个。要生成和得到【所有的n】的整体，遍历全部自然数，总共就需要运行无穷个有穷次，是【无穷次】后继运算。

要知道我们说的【无穷的忌用】，是指由人具体进行的推理，和演算操作。自然数的生成过程是客观形成的，不是由人具体操作的，当然不在忌用之列。我们在推理中不会把定义规则用无穷次。但是在客观上自然数的生成过程中，要得到【所有的n】的整体，遍历全部自然数，总共就需要运行无穷个有穷次，是【无穷次】后继运算。

一阳生先生对此规律似乎始终没有认识清楚，即所有的自然数n，每个n都是有穷数，即小于每个n的自然数的集合都是有穷集合。但是所有的自然数的整体有无穷多个。所有的自然数构成的集合是无穷集合。这是正常的规律，是事实，其中没有矛盾也没有冲突，一定要认识清楚。

3，根据序数理论，ω={0,1,2,3,...}是所有有穷序数(即自然数)的集合。而ω+1=ω∪{ω}={0,1,2,3,...,ω}。也就是在ω+1这个序数表示的集合中，ω是最后一个元素，也是第ω个元素。这没有任何问题。

一阳生问【有序集合AU{A}中最后一个元素是A，如果A在有序集合AU{A}中不是【第无穷次后继运算】或【第无穷次演算】，那它到底是什么？请薛老师回答！】

我可以明确回答，如果你说的A是所有自然数，即所有有穷序数的集合，A=ω，则也就是在ω+1这个序数表示的集合中，ω是最后一个元素，也是第ω个元素。

但要注意，这是在讨论序数ω+1和这个序数表示的集合{0,1,2,...,ω}，也可以这么说，在生成ω+1时用到了第ω个后继运算。但是注意ω无前趋，是极限序数，不是用后继运算生成的。所以在生成ω={0,1,2,3,...}时并无最后一个自然数，并无第无穷个后继运算。

一阳生说【我上面的论证是说明：命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】必然推出【第无穷次后继运算】或【第无穷次演算】存在。】

 这是不对的。生成全体自然数需要有无穷次后继运算。但推不出一定有【第无穷次满算】存在。理由很简单，因为有无穷多个自然数，但没有【第无穷个自然数】。所以要说【因为没有第无穷个自然数，所以没有第无穷次后继运算。】这就是理由所在，【关键和矛盾之处】。

一阳生说【设X= 【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，Y= 【不存在第无穷个自然数】，Z=【不存在第无穷次后继运算或第无穷次演算】。我是让薛老师证明X→Z，证明X和Z之间存在有效推理，而不是让薛老师证明Y→Z。】

实际上不那么简单。不可能证明X→Z。而是由于Ⅹ【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，和【自然数有无穷多个】。可以推出【要生成全体自然数，必须要扏行无穷多个有穷次运算，即无穷多次后继运算】 。正是由于虽然【自然数有无穷多个】，但是Y【不存在第无穷个自然数】。而且Y→Z【因为没有第无穷个自然数，所以没有第无穷次后继运算】。因而推出Z【不存在第无穷次后继运算或第无穷次演算】。

4，一阳生问【执行到任一有穷次后继运算，都只能遍历有穷个后继运算。薛老师要让后继运算执行无穷次即无穷过程，才能遍历全部无穷个自然数。当后继运算遍历了全部自然数时我主观思维的关注点聚焦在哪个后继运算上了或聚焦在哪个序数数上了？请薛老师回答。】

这就是一阳生对无穷的特性还不甚了解。扏行无穷个后继运算，並不一定要机行一个【第无穷次运算】。无穷个自然数集合中没有【第无穷个自然数】，扏行的无穷个后继运算集合中没有【第无穷个后继运算】，这很正常，这是有些无穷集合的特性。一阳生对此要有正确认识。

二、小球的运动。

 一阳生说【小球在时间开区间内不能遍历时间开区间内所有点】，和【小球在空间开区间内不能遍历空间开区间内所有点】。这是错的。开区间内点的集合包括开区间内所有点，没有开区间内不能遍历的点。

一阳生说【小球在时间半开区间[0,1)内，小球的位置a ＜1，说明小球不在1点上。但薛老师又说小球遍历了该区间内的所有点，说明小球要么处在该区间内所有点中的最后一个的点上要么处在与1点相临的点上，小球不可能处在该区间内除最后一个点之外其余的点上。事实上该区间内的所有点中不存在最后一个点，也不存在与1点相临的点。因此小球在半开区间内但又不在该区间内的所有点上，导致没有时间点可供小球落在其上，】

要知道小球是在动态的运动。一阳生问【小球处在哪个位置？】应考虑的是小球在哪个时刻处在哪个位置？回答当然是非常明确的。在时间经过半开区间[0,1)中的所有的时间点时，小球遍历了空间坐标的半开区间[0,1)中相应的所有的点。在时间半开区间不包括1这个端点时，同样在空间半开区间中也不包括1这个端点。有不包括1这个端点的半开区间的存在，说明数学的精确性很高。

一阳生说【小球遍历了该区间内的所有点，说明小球要么处在该区间内所有点中的最后一个的点上要么处在与1点相临的点上，小球不可能处在该区间内除最后一个点之外其余的点上。】这种说法当然是不对的。一阳生否定了时间中不含1这个点的半开区间的存在。在时间经过半开区间[0,1)中的所有的时间点时，小球遍历了空间坐标的半开区间[0,1)中相应的所有的点。

三、关于极限定义

1、在数学中，单独的【趋向于】不是数学概念，必须说完整，说全，说【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】，才有确切的定义。才是完整的数学概念。

2、命题【x趋向于x0时f(x)的极限是a】不是蕴含关系命题，不能把【x趋向于x0】和【f(x)的极限是a】看作是两个独立的分命题，它们並不具有简单命题的特征。把【趋向于】的含义看作是特定方向的运动，认为它表达了对象的某种行为动作。严格地说，这是一种错读的理解。这在数学中是不被正式承认的。【x趋向于x0】并不是主谓宾结构的R(x,x0)命题，因为R的含义是无法表示清楚完整的。【f(x)的极限是a】也不是主谓宾结构的R(x,a)命题，因为这里的R表示的含义也是无法精确 清楚完整的定义的。必须把【x趋向于x0时f(x)的极限是a】完整地放在一起。才能定义清楚。

这不是说说而己，你做做看就知道了。你试着分开定义一下。你能定义清楚吗？让我看看你怎么分开定义？

一阳生说【为了具有说服力，薛老师要做的事是第一要对我的具体论证进行具体的反驳，第二告诉我们您的简单命题【x趋向于x0时f(x)的极限是a】的命题结构是什么？】

 这不需要论证和反驳，【x趋向于x0时f(x)的极限是a】有确切的数学定义，不需耍我再说。这个定义不能归化为C→D。你说能，应由你把C是什么和D是什么的精确定义做出来，做不出来就己说清楚了，不用论证和反驳。

3，一阳生说【在一段论证中出现两个b，两个b必须是同一的。什么情况下才能做到是同一的？当他们的具体取值时刻保持相同时才是同一的。（想想贝克莱悖论。）而不是他们的取值范围相同就是同一的。】

这句话不完全对，要看论证的表述，如果论证表述为P(b)，显然对任何b1和b2，只有当b1=b2时，才能肯定P(b1)=P(b2)。由b1和b2的取值范围相同得不出P(b1)=P(b2)的结论。

但是如果论证表述为(彐b)P(b)，显然对任何b1和b2，既使当b1≠b2时，只要b1和b2的取值范围相同，即可得出(彐b1)P(b1)=(彐P2)P(b2)的结论。

一阳生先生说【在同一论证过程中，对于两个数学语言相同的命题，命题中相同符号的变量，他们的具体取值要时刻保持相同。这才叫遵守同一律！两个存在性命题同真同假叫等价不叫同一。】

要知道虽然b1≠b2，但(彐b1)P(b1)=(彐P2)P(b2)，这并没有违反同一律，量词的约束变量是可任意替换。说它违反了同一律是严重的逻辑错误。

因而当A∧B中b是出现在存在量词的行束变量时，就不存在一阳生所说的【前一个b】，【后一个b】的问题。以及【A∧B→Ψ与Ψ→A∧B中的两个A不是同一个命题，A∧B与Ψ之间不存在双向蕴含关系。】的问题。而是A∧B↔Ψ。

 可見存在量词的使用是非常重要的。不是一阳生所说是【借题发挥】【钻了牛角尖】，认为可以【把【存在】二字去掉不用】

4，首先必须肯定，用Φ来定义Ψ时，定义的逻辑结构必须是Φ⇔Ψ ，Φ当且仅当Ψ，而不是Φ蕴涵Ψ，Φ→Ψ。

其次极限的定义Φ⇔Ψ ，如果能归结为是Φ⇔(C→D)。必须使φ=(Φ1→Φ2)，使C和D有具体定义: Φ1⇔C，Φ2⇔D。

一阳生说【在我的极限定义命题结构（A ∧ B）→（C → D）中，在A ∧ B作为前提或背景知识条件下，C的含义是清楚明白的。在A ∧ B和C 作为前提或背景知识条件下，D的含义也是清楚明白的。期待薛老师的反驳。】

这不是由我来反驳，是你做不出来。

你说【C的含义是清楚明白的】，【D的含义也是清楚明白的】，只是在这里空口说白话。你能使A∧B=(Φ1→Φ2)，使C和D有具体定义: Φ1⇔C，Φ2⇔D吗。等你把φ1和φ2写出来，我们再来评论。我断定你写不出来。

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