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质能方程的相对论推导

方法1：设质点在外力作用下，由静止开始沿力方向运动一段位移ds，由动能定理：，

所以，相对论动能为：

说明：（1）——物体的静止能量.静止能量是物体内能之总和.即物体分子的动能、分子间的势能、分子内部原子的动能和势能，以及组成原子的基本粒子的相互作用能量之总和.

（2）——物体的总能量，是物体动能与静止能量之和.质量、能量是物质的两种基本属性，质量通过惯性表现，能量通过做功表现.能量变化必然伴随质量变化，反之亦然.但它们并非相互转化，在封闭系统中，总质量和总能量各自保持守恒.

（3）

方法2：当外力作用在静止质量为的自由质点上时，质点每经历位移ds，其动能的增量是…………………………………………………………………………（1）.

如果外力与位移同方向，则上式成为……………………………………（2），

设外力作用于质点的时间为dt，则质点在外力冲量Fdt作用下，其动量的增量是……………………………………………………………………………………（3）.

考虑到，由上两式相除，即得质点的速度表达式为亦即…………（4），…………………………………………………………（5），

把式平方，得，对它微分求出…………………………………………………………………………（6），

将（6）代如上式（5）得：……………………………………………（7）.

上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能都在增加，质量的增量dm和动能的增量之间始终保持（7）式（）所示的量值上的正比关系.当时，质量，动能，据此，将式（7）积分，即得：……………………………………………………………………………（8），

………………………………………………………………………（9），

上式是相对论中的动能表达式，爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把（）叫做物体的静止能量，把叫做物体的运动能量，我们分别用和表示之：………………………………………………………………………（10），

……………………………………………………………………………（11），

上列式子叫做物体的质能关系式.^【1】

在质能方程的推导过程中只是利用了引力质量的质速关系，并没有利用洛伦兹变换.对于一个物体，外力对它所做的功Fdx，等于该物体能量的改变dE，即dE=Fdx，而dx=udt，牛顿第二定律推广为：F=d（mu）/dt，所以：dE=Fdx，=F.udt=ud（mu），将速度从0到u对上式求积分，爱因斯坦得到：△E=mc²-m₀c².m₀c²为物体的静止能量，mc²物体的运动能量.物体在任一刻的总能量为：E=mc².在特殊条件下，原子核内发生裂变或聚变，物体的质量出现亏损，以核能的形式释放出来（△E=△mc²）.

2003年10月在西安召开的《相对论及现代物理创新国际会议》上，来自美国的大学教授张超先生，介绍了他的工作，他的主要实验工作就是和其他教授一起探测某些粒子的能量、动量，然后根据相对论的能量动量公式来计算粒子的质量：，是粒子运动时的能量，是粒子静止时的能量，P是粒子运动时的动量.由于，所以，是粒子的静止质量.

参考文献

【1】程守洙、江之永.《普通物理学》，高等教育出版社，1998年6月，第五版.