数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科，数学有别于其它学科的两个主要特征是：高度的抽象性和严谨的逻辑性。

牛顿创立《微积分》的目的是为了研究质点的运动状态及规律。质点运动的特点是质点空间位置随时间连续变化，即质点位置x是时间t的函数，因此，《微积分》用时间函数x(t)来表示质点在t时刻的位置。

《随机过程》也令x(t)代表布朗粒子在t时刻的位置，并假设“x(t)是t的连续函数”。

《随机过程》将时间区间[0，t]进行n等分，将x(t)表示为n个时间函数增量之和：

x(t) = ∆x₁ + ∆x₂ + … + ∆x_n

《随机过程》又将n个时间函数增量∆x₁，∆x₂，…，∆x_n假设（偷换）为n个独立同分布（i.i.d.）随机变量，然后根据中心极限定理，得出

x(t) ～N（0,σ²t）

《随机过程》从“x(t)是t的连续函数”的假设出发，推出了“布朗运动位移x(t)服从（0,σ²t）正态分布”的结论，并将其作为《随机过程》基本假设，借助于形式逻辑规则构建出了《随机过程》布朗运动理论。

从上述推理过程可以看出，《随机过程》从“x(t)是时间函数”的前提出发，推出了“x(t)是随机变量”结论，表明《随机过程》在推理过程中出现了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误。

时间函数x(t)和随机变量x(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

随机变量x(t)中的t并不是自变量，t只是一个时间标记而已。随机变量x(t)的真正自变量是样本点ω，因此，随机变量x(t)在t时刻有多个或无穷多个与样本点ω对应的取值，而时间函数x(t)在t时刻仅有唯一一个取值。

为了保证数学理论的确定性和无矛盾性，必须要遵循逻辑思维基本规则——同一律。

在同一推理过程中，所使用的概念必须要始终保持同一，不能用一个完全不同的概念替换原有概念，否则会犯“偷换概念”逻辑错误，导致结论在逻辑上不能自洽，并且与客观事实不符。

牛顿在创立《微积分》时违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个不同的概念相互替换，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了一场数学史上持续150年的第二次数学危机，《微积分》理论险被推翻。

请教数学家：布朗粒子在t时刻的位置x(t)究竟是时间函数还是随机变量？

参考：

[1] 请教物理学家：布朗运动位移究竟是时间函数还是随机变量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1447324.html

[2]Gregory F.Lawler.随机过程导论[M]. 张景肖译. 北京:机械工业出版社,2010年.

[3] 布朗运动研究的乱象及机遇

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1446740.html

[4] 驱动《随机过程》范式转换的四个反常现象

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1438435.html