1905年，爱因斯坦推导出了描述大量布朗粒子集体行为的布朗运动扩散方程，得出了所有布朗粒子在t时刻的空间位置服从均值为零、方差为2Dt正态分布的结论。

假设有n个布朗粒子从原点开始扩散，这n个布朗粒子在t时刻的位移为：

x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)

由这n个位移测量值可计算出t时刻正态分布的方差：

从上式可以看出，方差是度量所有布朗粒子偏离原点分散程度或发散程度的统计参数，因此，在《统计物理学》中，方差也被称为均方位移（Mean Square Displacement，MSD）。

1908年，法国物理学家佩兰（Perrin）对布朗运动进行了实验研究。佩兰用显微镜观测了200多颗藤黄粒子在不同时刻的位移数据，并计算出这200多颗藤黄粒子在不同时刻的均值和方差。实验结果表明：这200多颗藤黄粒子在不同时刻的空间位置服从参数为（0，2Dt）的正态分布，与爱因斯坦扩散方程描述的正态分布完全一致。

佩兰的布朗运动实验不仅证实了爱因斯坦布朗运动理论的正态分布结论，而且在不同实验条件下测得了高度一致的阿伏伽德罗常数，第一次从实验上直接证明了原子的存在，佩兰因此于1926年获得了诺贝尔物理学奖。

2005年，在爱因斯坦布朗运动研究论文发表100周年之际，为了纪念爱因斯坦和佩兰对布朗运动研究所做的突出贡献，哈佛大学的三位科学家使用100倍三目显微镜、CCD数字照相机和计算机组成的现代测量系统，重复了佩兰1908年的布朗运动实验（图1）。

图1 布朗运动实验装置

实验中的悬浮微粒由聚苯乙烯材料制成，用计算机图像测量软件实时跟踪200个小球的位移，并计算这200小球在不同时刻的均值与方差（均方位移）。

实验分别使用了直径为0.50、1.09和2.06微米的球体，图2为3种小球在不同时刻的方差，图中的每个方差数据点由 200个小球的位移测量值计算出的，从图2可以看出：布朗粒子在扩散过程中的方差与时间成正比。

图2 布朗粒子方差-时间曲线

哈佛大学的三位科学家用现代仪器和实验手段再次实验验证了大量布朗粒子的空间位置服从（0，2Dt）正态分布的统计规律。

参考：

[1] Newburgh Ronald, Peidl,Joseph, Rueckner Wolfgang. Einstein, Perrin, and the reality of atoms: 1905 revisited[J]. American Journal of Physics, 2006(74): 478-481

https://advlabs.aapt.org/bfy/files/AJPBrownianPaper.pdf