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二次谐波张量元在 32个点群下的形式,在一般的教科书中可以找到,在这里不做赘述。它们在磁点群中的关系比较复杂,一般教科书里面和文献中并没有给出。由于磁点群中有时间反演对称性的存在,二次谐波同时存在时间反演偶函数(even,即i-type)和时间反演奇函数(odd,即c-type)部分。这里介绍用同构群方法来得到磁点群下的二次谐波张量元。它们的判断方法如下图所示,具体介绍详见参考文献(正文和补充材料):Classification of second harmonic generation effect in magnetically ordered materials。
其中M0(= S0 + T(G0 - S0) )为磁点群,S0为半子群,G0和G1为M0的同构点群,G0 = S0 + RS,G1 = S0 + IRS0。R为幺正操作(不含有时间反演T),R'(=TR)为反幺正操作。
下面为58个黑白磁点群下的二次谐波张量元,其中LMO表示该磁点群是否允许线性的磁光效应。
122个磁点群SHG张量的特点总结如下:
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