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角动量定理满足力学相对性原理

摘要：首先利用矢量法分析了角动量定理具有伽利略变换的不变性，并以匀速圆周运动为例验证了这个问题，验证了其满足力学相对性原理．

关键词：矢量法；角动量定理；力学相对性原理

“在我们将它带到世上之前，数学原本并不存在”——阿瑟·爱丁顿；

“对称，是由事物引起的，而不是事物的原因”——罗伯特·劳克林

物理学研究物质世界的基本组成、基本相互作用以及由它们所决定的物质的电、磁、光、热和运动规律．物理规律是物理学的核心内容，反映了物理量之间的互相依存制约关系，可用于解释和预言自然现象，并在日常生活和工程技术中得到广泛应用．在物理学探究历史发展过程的大多数时期，物理学家只拥有有关自然现象的有限经验，没有对应的物理概念，也不知道该使用什么样的数学工具，往往没有办法按照严密的逻辑或数学方法来完成从“0”到“1”的跨越.此时，一种特别的思维方式发挥了重要的作用，这就是“直觉”.直觉会有错误和失败，这种“大胆假设”之后“小心求证”的研究模式，时至今日依然是物理学前沿探索中可靠、可用且常用的方法之一.

物理定理是根据已有的物理规律，经过进一步逻辑推演而得到的结论．大学物理中的定理包括：动量定理、动能定理、角动量定理、质心运动定理、平行轴定理、能量均分定理、卡诺定理等．

1.      单质点角动量定理的证明

质点旋转时有动量定理：

对两边叉乘质点位置矢量：

观察：

因为：

故有：,

定义角动量，可以看出为外力矩

故有单质点的角动量定理：

2.      单质点的角动量定理具有伽利略变换的不变性

角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具有对称性；但角动量定理对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具有对称性，为此首先用矢量法给出一般证明--------------

牛顿第二定律的最初形式为

F=mdv/dt=dP/dt ---------------------                 (1)

用质点在0-xyz坐标系的坐标矢量r从左边叉乘式（1）的两边就有

r×F= r×dP/dt，所以

r×dP/dt= d(r×P)/ dt= dL/dt，其中M= r×F,L= r×P.

上式变为M= dL/dt                                                     (2)

由于(1)满足力学相对性原理，我们有F= dP′/dt                           （3）

用质点在0′-x′y′z′坐标系的坐标矢量r′从左边叉乘式（3）的两边就有

r′×F= r′×dP′/dt，所以r′×dP′/dt= d(r′×P′)/ dt= dL′/dt，

上式变为M′= dL′/dt，                                               （4）

其中M′= r′×F,L′= r′×P′.

（2）和（4）式对比，证明质点角动量定理满足力学相对性原理.文献[1]也给出了证明.

下面用实例验证角动量定理服从力学相对性原理

例1弹簧振子、自由落体和斜面上自由下滑的滑块

对于弹簧振子，角动量守恒：

x₁=x-ut，v₁=v-u，a₁=a+0=a，ma₁=ma，f₁=f．

M=x×f =(x×f sin π)e=0，

所以

0=M=x×f ==，

所以在地面上观察，角动量l=x×mv守恒，角动量定理成立.

据伽利略变换知：

M₁= x₁×f₁=(x-ut)×f= x×f-ut×f =

0-[ut×f sin (nπ)]e_u=0-0=0 (其中n=0，1)，

所以在小车上观察，角动量l₁=x₁×mv₁守恒，质点所受的合力矩为0，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

类似分析自由落体运动和从斜面自由下滑的滑块，由于位移和合外力共线，质点所受的合力矩为0，角动量守恒，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

例2 匀速圆周运动

如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，

问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O₁-x₁y₁),角动量定理是否都成立？

解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系.

1、在地面系——设初相为0，v=ωR,

x=Rcosωt

y= R sinωt

x′=-Rωsinωt

y′= Rωcosωt

f_x=m x′′= -mRω²cosωt

f_y=m y′′= -mRω²sinωt

=0，质点对圆心的角动量大小为mR²ω，方向不变，角动量定理成立.

2、小车系

将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：

x₁=x-ut=Rcosωt-ut

y₁= y=R sinωt

x′₁= x′-u=-Rωsinωt-u

y′₁= y′= Rωcosωt

p=mv=(-mRωsinωt-mu, mRωcosωt,0)

r=( Rcosωt-ut, R sinωt,0)

f_x=m x′′= -mRω²cosωt

f_y=m y′′= -mRω²sinωt

L₁=r₁p₁=(0,0, mR²ω+umR sinωt-utmRωcosωt)

L₁′=(0,0, utmRω²sinωt)

M₁= r₁f=(0,0, utmRω²sinωt)

角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

对于非惯性系，只要引入惯性力，角动量定理也成立.

3.      刚体的角动量定理

定义刚体的角动量为：,其中：下标G表示该向量为大地坐标系下的，的下标i表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系，本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。)

由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理：，其中：

为外力矩

把上式展开有：，其中：称为惯性矩阵

刚体旋转时，是变化的，但刚体在刚体坐标系下的惯性矩阵不会变，且容易分析得到：，其中：为刚体坐标系下到大地坐标系的旋转矩阵。

4.      欧拉方程的证明

在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系下的向量：

外力矩：；惯性矩阵：；角速度：

引入刚体坐标系的向量：

旋转运动时：旋转矩阵，刚体角速度都为变量，只有为不变量。

故上式为：

两边乘上为：

该式中所有量都为刚体坐标系的量，展开即为欧拉方程，,,都为0时即为前面所给出的欧拉方程，称为局部坐标系的欧拉方程。

欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：，该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:

其中，分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩，分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。

欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：，

K.Popper认为：定律的复杂性规定为包含在其中的整数（次数和微分阶）绝对值的和，以及它的自由地可校准的参数总数，可检验性=高先验不可几性=参数少=简单性。常常可以看到有人把物理学当作是逻辑严密的精妙理论，可以由少数的原理解释广泛的现象，例如牛顿力学体系。许多人以牛顿作为科学的典范，甚至有人把牛顿力学那样系统化的理论才当作是科学。这种对科学的理解实际上是把教科书上总结好的科学理论当作为科学，甚至当作是科学的全部，实质上是只把已经完成的理论当作科学。拥有这种思想方法的人常常不知道科学理论中的概念从何而来、有什么根据，常常以为科学所需的概念没有什么困难，甚至以为相关概念在科学理论发展出来之前就已经出现。逻辑简单性法则被普遍应用于科学发现之中，它指的是“科学体系中所包含的彼此独立的假设或公理最少”.统一性思想是深刻地印人人类思想结构中的科学与哲学信念之一，它包含两重意思：一是科学理论应深刻地揭示物质运动的内在统一性，使理论与所描述的客观世界相统一；二是理论内部的逻辑结构具有一致性，使同一理论层面的不同部分相互协调，不同层面的理论间呈现出发展的序列性和整体的系统性.爱因斯坦说：“理论家的方法，在于应用那些作为基础的普遍假设或者‘原理’，从而导出结论。他的工作于是可分为两部分：他必须首先发现原理，然后从这些原理推导出结论.”他还说：“科学必须建立各种经验事实之间的联系，这种联系使我们能够根据那些已经经验到的事实去预见以后发生的事实。……我们在寻求一个能把观察到的事实联结在一起的思想体系，它将具有最大可能的简单性.我们所谓的简单性，并不是指学生在精通这种体系时产生的困难最小，而是指这体系所包含的彼此独立的假设或公理最少.”