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力的保守性具有伽利略变换的不变性

摘要：通过数学推导验证了保守力经过伽利略变换后仍然是保守力，加深了对“力是伽利略变换的不变量”的理解，在经典力学中时空是不变量，不同观察者在同一时空中测量.

关键词：保守力；显含时间的力场；相对性原理；伽利略变换不变性

中图分类号：O 313.1  文献标识码：A

                      一、问题的提出

伽利略在反驳地心说的支持者提出的问题时提出了力学相对性原理，他的相对性原理是一种朴素性的表达，即并没有体系性的概念支撑.伽利略之后，惠更斯把相对性原理作为基本假设之一研究了碰撞问题.在伽利略和惠更斯的工作基础上，牛顿基于绝对空间概念以及他的力学基本定律把相对性原理处理为一个推论，即第五推论.18 世纪 40、50 年代，参照框架随着运动的代数化表征方式的发展被引入.进而，基于时间参量的绝对性，同一物理过程在两个相互作匀速直线运动的参照框架中对应的物理参量之间的变换关系被给出.此变换关系今天被称为伽利略变换.同时，欧拉认识到动力学方程的形式（主要指牛顿第二定律）在伽利略变换下具有不变性.到这里，经典力学中与相对性原理有关的知识框架是基本形成.另外，欧拉否定了绝对运动，但保留了绝对空间与绝对时间.19 世纪中后期，路德维希·朗格受到卡尔·诺伊曼工作的启发，基于自由质点的概念对惯性定律进行了重新表述，提出惯性时间标度和惯性参照系的概念.因而，作为参照者的绝对空间被取消了，而力学定律被认为对于所有的惯性参照系都成立.1904年彭加勒把相对性原理表述为物理学基本原理之一.另一方面，面对力学相对性原理与电磁理论的矛盾，基于坚持相对性原理的普遍有效性，并假定光速不变性，爱因斯坦建立了新的理论框架，得到了与相对性原理对应的新的惯性系之间的变换关系：洛伦兹变换.更进一步，在处理引力理论时，通过广义相对性原理以及等效原理，爱因斯坦解决了引力问题.可以说，无论是经典力学还是相对论，处理相对性运动问题的核心原理都是相对性原理.而要使得原理得以实施则需要变换不变量或绝对量作为不同参照框架的共同基础.在经典力学里，这个不变量是同时的绝对性或称为绝对时间.相对论中的变换不变量则是光速，它的物理基础是电磁理论.从对称的角度看，相对性原理是最重要的对称性原理之一.一般认为相对性原理体现的是时空对称性，在经典力学与狭义相对论中，伽利略变换和洛伦兹变换关涉的是整体对称性，而在广义相对论中，对称性只在局域成立，因而相应的变换是局域性变换或无穷小变换.相对性原理给予我们一个启示，那就是也许我们永远不知道什么才是物理世界的真正规律，但或许可以肯定的是，理论的形式必不依赖于研究者所选取的参照框架间的相对运动.

伽利略相对性原理有三种表述：所有惯性系是平权的，没有优越的惯性系和不存在绝对静止的惯性系，它的本质含义是不能通过在惯性系内部的物理实验发现此惯性系相对于其它惯性系的运动状态.现在的力学教材都是利用环路积分为0定义保守力的，文献[1～8]指出如果力的保守性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力在一惯性系中做功是否与路径有关，从而判断该惯性系相对施加该力的作为另一惯性系的物体是否在运动——这是相对性原理不能允许的.力是伽利略变换的不变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾.哥白尼原则（thecopernicanprinciple）是物理学和哲学的一条基本法则，以文艺复兴时代提出“日心说”的波兰天文学家尼古拉·哥白尼命名，它的定义是：没有一个观测者有特别的位置，宇宙各处看起来应该都一样.

矢量场的旋度，在直角坐标系下的计算公式为：

或者写为：

据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：，此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线l的环量，等于旋度沿与l的方向构成右手螺旋的方向穿过以l为边界的曲面S的通量.

                  二、力的保守性具有伽利略变换的不变性

德驰认为：“数学只能揭示抽象对象的真相.而物理学与其说是试图研究这些对象，还不如说是发现哪个对象更符合现实.据我们所知，迄今为止，我们用来构建物理学理论的纯数学的比例非常小.”例如粒子和场以及空间和时间之间的所有关系都能用一系列可在图灵机（图灵机是我们目前广泛使用的计算机的基础）上计算出来的数学运算表示出来.但是，德驰指出，为了在获得万物之理这条路上取得进步，我们可能需要进入一些目前无法由计算机计算出来的数学领域.而且德驰进一步表示，我们必须摒弃过去几个世纪里已经让我们取得巨大进步的一个想法，那就是，如果我们从数学开始进行研究，现实也会跟着数学方法走.相反，我们必须首先用我们对物理宇宙的理解来解决问题，也即宇宙中的物质正在慢慢减少，或者为什么引力比其他作用力更加微弱等；另外，我们也要尽力弄清楚，我们的宇宙观发生什么变化才能解决这个问题.德驰指出：“很多理论物理学家们试图首先用数学方法开始，但这根本无济于事，永远不会成功.”

定理1：在两个相对匀速运动的惯性系o、O₁中，如果o系中力f是保守力，那么在O₁系中该力F=f也是保守力.

证明：设0时刻惯性系o、O₁完全重合，且O₁系相对于o系以正常数u的匀速开始运动.设t时刻，质量为m的质点在惯性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r，v，a，f，w，在O₁系中分别为：R，V，A，F，W，则据微分运算有

R=r-ut，V=v-u，A=a-0=a，F=mA=ma=f；                                   (1)

dR=Vdt=vdt-udt=dr-udt.                                                   (2)

dW=F×dR=f×(dr-udt)=f×dr-u×madt=dw-mu×dv=dw-md(u×v)，                   （3）

=-d(u×v)，W=w-mu×v+mu×v₀.                                  （4）

由dv=adt和dr=vdt知，W=w-mu×v+mu×v₀=w₁(t)-mu×q(t)+mu×v₀=j(t)，           (5)

由于R=r-ut=r(t) -ut=φ(t)                                               (6)

是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(R)，在区间D上W=j(t)=j₁(R)是位置的函数，对时间的偏导数等于0，F是保守力.由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，F=mA=ma=f是O₁系中的保守力.

另证：F（r）=F₁（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点做匀速直线运动，受到的力是恒力，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(R)，所以F（r）=F₁（R -ut）=F₁（R-uφ^-1(R)=F₂（R）                                                    (7)

仍然是位置的一元函数，对时间的偏导数等于0，不是显含时间的力.有些文献^[3]仅仅从F=f（r）=F₁（R-ut）出发得出显含时间的力，其实经过数学变换可以消去时间t，力经过伽利略变换后仍然可以表示为位置的函数，此时只能说是隐含时间的一元函数，文献[9]的观点是错误的.

力的保守性具有伽利略变换的不变性，才具有科学美.场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进无关.引入或者选择某种坐标系是为了便于通过数学方法和进行计算和研究它的性质.济慈所说：“凡想象为美的东西必然是真实的——不管它以前是否存在”.韦尔也说过：“我的工作总是力求把真和美统一起来，但是当我必须两者选一时，我通常选择美.”

不要认为在力的解析式中有时间变量就认为一定是显含时间的力场，必须分析一下能否消去变量t，表示为位置的一元函数，例如当把弹簧振子固定在地面上时，在地面系观察弹力F=-kx=-kx-kAsin(ωt+φ），但不是显含时间的力场，否则地面系机械能也不守恒.只要力不是显含时间的力，场也不是显含时间的力场. 从分析力学角度来看，只要所研究系统的拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间，系统的机械能一定守恒，与矢量力学的结论完全一致，因为根据dEp=（-f）dr可知只有力场显含时间，势能才能显含时间，从而机械能显含时间.力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，r是指质点的坐标，含有时间参量t是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间.

由于牛顿力学适用于绝对时空，因此场或者力的坐标必须是相对于力源静止坐标系里的坐标(因此力是伽利略变换的不变量包括力场的性质不变)，质点坐标是观察者坐标系里的坐标，这一点和相对论不同，在相对论中场的坐标和质点坐标都是观察者坐标系里的坐标，伽利略变换和洛伦兹变换在这一点上是有区别的，不能仅仅看做是洛伦兹变换的低速近似，伽利略变换只研究质点坐标，不研究场（或者力）的坐标.朗道的书《力学》中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向.

随着科学的不断发展，任何一种科学研究纲领都会遇到难以解决的困难.这时不需要把整个纲领抛弃，只要适当调整保护带，即可保持硬核稳定不变，科学仍可继续发展前进. 波普尔、库恩、拉卡托斯三种论科学发展规律的学说，都是从20世纪人类文明面临重大变革，科学发展如何能与之相适应的视角着眼，凭借自己所熟悉的科学知识和哲学倾向提出来的见解.表面上看，三者的分歧很大，但实际上三者是有共同点的，他们都认为科学发展应该奉行继承与创新相结合的方针. 复旦大学数学学院辜英求认为：探索规律有两种方式：第一种方式是直接寻找真理，例如库伦定律的发现，很多实验定律的获得都属于这种类型.在某个领域的发展初期，这种方式几乎是唯一的选择.第二种方式则是通过排除谬误来收集真理.当一个领域积累一定的知识后，就要用这种方式研究了，这就是公理化方法，也是爱因斯坦统一场论的实质所在.只要科学的基本信念成立，则后一种思路就一定是对的.逻辑理由也很简单：因为没有一条假设（也就是没有限制）的理论包含所有真理，但它没有用处，因为它也包含所有的谬误，不能告诉我们任何明确的东西.因此我们要做的就是从零开始不断引入那些普适的基本概念和必然成立的原理，排除明显的谬误，把真理浓缩到一个很小的范围内，再用实验来确认最后的真理.基础物理进步的原则是，用较少的更深刻的原理去概括和解释更多的较低层次的理论和现象.

                 三.几个实例的具体分析

保守力利用环路积分为0定义，注意这里的环路积分是对于同一个坐标系而言，而不是同一个参照系.参照系和坐标系有时是相同的，有时可以不同.例如在一个相对于地面匀速运动的传送带上放一块小木块，小木块在滑动摩擦力的作用下，从皮带的A点向后运动到B点，然后和皮带一起运动一段距离，在某一个时刻皮带突然停止，小木块由于惯性向前运动，在滑动摩擦力的作用下从B点运动到A点，如果以皮带为参照系，小木块受到摩擦力的环路积分为0，滑动摩擦力成为了保守力.可是小木块的动能不变，内能增加，能量守恒定律不成立.在这里问题的症结在于皮带这个参照系其实代表两个惯性系，开始时相对于地面匀速运动，后来相对于地面静止，其实对于其中任何一个惯性系小木块都没有形成环路.在这里参照系和惯性系不是一回事，这个问题搞不明白，容易出错，把耗散力变成保守力，也可以把保守力变成非保守力，文献[10]就是出现类似错误.

下面以简谐振动为例说明一下这个情况——假设弹簧振子固定在地面上，小车相对于地面的速度为u，取简化假设k=1，u=1，m=1，A=，，在地面上看小球的坐标随时间变化是            （8）

小车上看小球的坐标的变化是                     （9）

小球往程出发时（t=0）的坐标是x（0）= x（0）=0，那么在地面上看，从（8）式显然可见，在时间0<t<π/2中，小球的坐标x随着时间t增加，直至t=π/2，x（t）达到最大值π/2.

在小车上看，从（9）式容易证明，在时间0<t<arccos(2/π)内x随着时间t增加，直至t=arccos(2/π)，此时x（t）达到最大值   （10）

然后x（t）随着时间减小，至时间t=π/2， 达到x=0，即回到出发点.

两者比较，由于arccos(2/π)<π/2， 所以在小车上看小球达到（4)式所表示的最大坐标x_max时，地面上看小球还未达到它的振幅呢！而当在小车上看，小球已经从最大坐标值回到出发点x=0时（t=π/2），地面上的观察者看到小球正好第一次达到它的振幅.

所以，在小车上看，小球在时间0到π/2内完成了一个往返.力的往返路径积分是

                                         (11)

这等式的等号右边两个积分的被积力函数和有不同的函数形式.因为，将此式代入式(11)得

                                       (12)

两个积分的被积函数中的项可以互相抵消，但是作为的函数是函数（t）的反函数，在的区间和中的表示式是不同的，分别记为和，它们不能相互抵消，所以Q₂不是零.具体计算就是：

从(11)出发.注意到在（11）中，积分的自变量是x，其往程和返程的转折点在x_max，由（10）式表示.现在做变量代换x=x-ut，往程和返程的转折点就要用x_max所对应的x和t来表示了.上面式（9）和式（10）之间的文字已经说明，往程和返程的时间转折点是 arcos(2/π)，而根据（8）得此时x达到，此即转折点所对应的x值.所以（11）式化为

=                (13)

因为所以上式化为

==！！

上面计算过程错误的根源在于理解为质点在相对空间里运动，时间却是绝对时间，既不是伽利略变换也不是洛伦兹变换，在经典力学中研究问题必须在同一个时空里讨论.在运动系测量环路积分必须在原来的空间内环路，在运动系环路正如刻舟求剑一样的荒谬.

文献[11]认为势函数不仅仅与位置有关，还和速度有关，其实经过数学变换可以消去速度，表示为位置的函数.力是伽利略变换的不变量是指各个惯性系里的观察者在同一个力场中研究质点的运动规律.

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