[按：下文是邮件笔记的内容，标题是原有的。]

有了φ，就有了ψ。

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温习：按之前的摘录，为了找φ，转而求解“two-scale equation”，也就是(2.15) ——

p.12,"In practice, one can often start the whole construction by choosing an appropriate φ, i.e., a function φ satisfying (2.15) for some c_n."

(2.15)   φ(x)=∑_nc_nφ(2x - n).

  讲完这件事之后，原著给出了两个例子，即写出φ(x)的显式表达式，以及对应的c_n，使得(2.15)成立。第一个例子是单位三角形(底边长为2高为1)，即φ(x)在闭区间[0,2]之外定义为零，而在闭区间[0,1]和[1,2]上分别定义为x和2-x。它的样子大致如“...__/\__...”。注意，作为函数的单位三角形，底边是不算的。像这种有限区间之外值为零的函数称作“紧支撑”函数(compactly supported function)。这个名称是有点怪，初次看到可能引起心理障碍：为什么没听人提起过？研究代数的人也许一辈子也不会听说。当出现奇怪的名称时，我们就指出它有点怪，这样可以起到确认的作用，从而消除心理障碍：你觉得怪？我也觉得怪。于是也就见怪不怪了。如果说的人装作若无其事(这是一种坏技巧)，反而会令人困惑。好了，根据原著，单位三角形φ(x)对应的c_n由下式给出 ——

φ(x)=1/2φ(2x)+φ(2x-1)+1/2φ(2x-2)

即 n=0, 1, 2 对应 c_n=1/2, 1, 1/2.此例中其余的c_n都为零。由此可见，单位三角形φ(x)确实满足方程(2.15)。除此以外，原著又给出了一个例子，此处省略。通过两个例子可以知道，方程(2.15)不只有一个解。

  今天的“主摘录”来了：p.13"We shall see below that for the construction of orthonormal bases of compactly supported wavelets it is more natural to start from the coefficients cn than from the function φ"。

这句话在原著第十三页靠上的地方，单句成段，占用了两行半；句中的斜体部分是原著自带的。这句话提到φ和c_n的方式略显突兀。不难看出，原著作者在头脑中指向了(2.15)，但没有明说。在原著中，(2.15)出现在p.11，跟这句话隔着一页的篇幅。这就是为什么今天的开头安排了温习。在那里写的是“... often start ...by choosing an appropriate φ...”，而今天的摘录里写着“... it is more natural to start from the coefficients cn ...”。单独成段，是强调着手点不同：想办法算出c_n，然后再设法算出φ。确实，之前提到φ是(由c_n)唯一确定的。可以设想：建立c_n满足的一套方程，从中解出c_n，就有可能得到φ。原著是这样做的吗？此问权作悬念，待后续解答。

  回到上面的例子。原著指出，这两个例子的{φ_0n}不是正交的;为了得到正交的{φ_0n}，需要对φ做个变换，即运用p.8——

(2.5)      (ω)^(ξ)=Cφ^(ξ)(∑_k|φ^(ξ+2kπ)|²)^-1/2

略解释：首先对φ(x)做个傅里叶变换，得到①φ^(ξ)；然后得到索引为k的无穷序列{φ^(ξ+2kπ) }，计算它的范数②||φ^(ξ+2kπ)||；最后①和②做乘积，配上常数因子C，就得到 (ω)^(ξ)。用ω替换φ，即得到正交的{ω_0n}。正交是正交了，可是ω不是紧支撑函数，从而用它按照(2.16)定义的小波函数ψ不是紧支撑的。

  附注：原著2A部分是综述，其中内容基本都是当时已知的知识。可以认为，原著作者写这部分内容是为了将自己的发明放置在具体的上下文里，从而形成鲜明的对照。

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参考资料

φ-计划之若干摘录 2024/7/10

小波分析与φ-计划 2024/7/8

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。