1、过往地球球内压力的计算简单回顾

物理学上关于压力，是指发生在两个物体的接触表面的作用力，或者是气体对于固体和液体表面的垂直作用力，或者是液体对于固体表面的垂直作用力。简单定义为就为：垂直作用于流体或固体界面单位面积上的力，图形表达方式见图1。以上来源于“百科，网址为https://baike.so.com/doc/3925635-4119900.html”。

图1

对于球形的地球内部指向地心的压力该如何计算？看了一些学者的研究，有基于大平板的计算式，结论为：

……（1）

有基于楔状体求出球内某深度压力，下面以杨光忠老师有的研究为例（“试论地球的构造动力”，贵州地质，2007年24卷第一期），其表达式根据图2推出如下公式：

……（2）

式中P为静岩压力，r为地球内部深度为h的截面距地心的半径，R为地球半径6371km，ρ为截面上覆岩体密度，g为重力加速度。式（2）中项就是式（1）的静岩压力。由于r≤R，所以由式（2）的压力比式（1）的要大，深度h越大，r越小，两式计算压力差距离越大。（以上均出自杨光忠老师论文）。

图2  地球内部压力构成

对于地球球内的压力还有其他学者给出了与杨老师不同的计算公式，但都是基于压力的定义给出，不再陈述。根据杨光忠老师论文的陈述知，根据不同的深度段，重力加速度取值是不同的。这种压力算法是否存在缺欠？笔者认为，随着向地心的靠近，根据地球内部的重力值是不断变化的，上述计算地球内部压力的公式应存在问题或者理论上应存在某种欠缺。然而到底该如何计算地球内部的压力呢？下面笔者给出一种算法。供大家讨论。

2、地球内部径向压力的新计算方法

下面在假设球内物质可塑的情况下，分两种情况讨论地球内部径向压力的计算：一、均匀球内的径向压力计算；二、具有同心球层内部径向压力计算。

2.1 均匀球内的径向压力计算

在计算均匀球内的径向压力前，约定球内质点的体积不受压力的影响，即压径向压力增大体积不发生减小。如图3所示，为均匀等密度为ρ的球体，外球半径为R。

图3均匀球体，密度为ρ，半径为R，球内质点受力可根据式计算，式中（式中G为万有引力常数）为球内任意半径球面上的引力强度或重力，下面叙述这一过程。

如图3所示，在半径为r≤r′≤R的球面上，任取一面积微元ds，微元的高度为dr′，因此体积微元为dv=dsdr′，因此微体积的质量为：

dm=dvρ…（3）

将（3）其带入，于是有：

…（4）

   (4)式右侧是半径为r′的球对球外微元质点作用力，如果进一步变形则可看到是万有引力的表达式。（4）式两边同除以ds就得微元对球面的压力dP，所以：

    …（5）

根据力的可加性，对（5）式从r到R积分，于是得到：

…（6）

    从式（6）知均匀球内压力随半径的变化，是一抛物线。当R的大小如地球半径一般，r与R相差几十米或几百米，式（6）可近似的写为：

…（7）

式（7）应是式（1）成立的根源，由式（6）知式（1）是不可大范围的进行应用。式（2）与式（6）对比可以看出相差较大，式（2）没有考虑重力不断变化的特征，应用其计算球内压力，式（2）造成的误差可能较大或甚至错误。

    上面式（6）在推导时忽视径向压力造成的物质密度的增大，因此下面给出同心球层的压力计算方法，以弥补球内因压力的递增，带来的体积减小。

2.2 具有同心球层的球内压力计算

如图4所示，从内而外密度逐渐变小，球内某一球层引力强度（重力）计算表达式为式（8）。有了上述表达式，根据前面的均匀球内压力计算方法，下面逐层计算球内压力。

…（8）

图4  同心球层剖面示意图

根据式（8），在最外球层内引力强度为：

  …（9）

最外圈层内如图3一样，取一面积微元ds，高度为dr＇，微体元质量为式为（3），于是式（4）中引力强度换为式（9）得：

…（10）

式（10）两侧同除以ds得：

…（11）

对式（11）从r到R_n积分得球最外球层内任意半径上的压力为：

…（12）

从式（12）中当r等于R_n-1时，外圈层在半径R_n-1的球面上的压力为：

…（13）

有了式（12）和（13）就可以讨论以下问题。

一、在式（12）中，R_n的大小如地球半径相同，当r十分接近R_n，式（12）变为：

…（14）

式（14）中表示了具有同心球层的球的质量，所以乘号前的部分是引力强度，与式（1）相同。这也进一步表明时下使用的静水压力公式是一近似公式。对于地球内部的压力，根据式（12）和式（13）静水压力公式（1）不具普遍性，式（12）不再是如式（6）的抛物线函数，而是更为复杂。

二、对于球层R_n-2到R_n-1内任一点压力计算可分为如下步骤计算。首先计算外球层物质对该球层外球面任意点压力，然后计算该球层在内部引力场下，任意半径上球面的压力。其前者为式(13),后者为式（12），仅是式（12）的n变为了n-1。因此球层R_n-2到R_n-1内任一点压力为：

…（15）

上式中当r取值为R_n-2时，半径R_n-2为的球面上压力，根据式（13）为：

…（16）

有了上述讨论，可以推出对于图4中R_m-1到R_m球层内任意点压力通式为：

…（17）

由式（17）可进一步推出内球R₁的压力为：

…（18）

    通过以上讨论，得到了具有同心球层球内任意点所用的静压力公式。而通过上面的推求，可以进一步推求球内物质密度ρ=ρ(r)时球内压力的计算。

三、随球半径增大密度逐渐减小球内压力计算

如图3所示，球内物质密度变化为ρ=ρ(x)，该函数随半经的增大而减小。球内任意半径球面上的引力强度为：

…（19）

根据上面的计算方法，于是球内任意点有：

…（20）

式（20）两侧同除以ds得：

…（21）

由（21）可以计算球内任意深度的压力，下面就根据式（21）计算r₀≤r≤R对半径为r₀球面上的压力：

…（22）

3、结语

通过上面的讨论，至此球内压力计算公式根据压力概念全部给出，是否正确请老师们批评指导！