Zmn-1149 一阳生 : 自然数的基本性质决定了不存在无穷过程，兼评论《Zmn-1147》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1147》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

自然数的基本性质决定了不存在无穷过程

兼评论《Zmn-1147》

一阳生

一、在数学中和证明中存在两种不同的后继运算？

1、薛老师说：“在数学推理和演算上“无穷步的忌用”，并不是客观上否定无穷，在客观上【忌用无穷】。…。而且我们所忌用的无穷只是指人的推理和人为演算的次数，至于推理的内容和客观操作的次数，则是完全可以涉及无穷的。”

薛老师说【主观的人为的推理和演算】，是忌用无穷步无穷次的。但客观的非人为的操作次数，可以达到无穷次。

薛老师是说存在【客观的非人为的推理和演算】吗？您要把自己的观点表述清楚，这不能模糊不清。

2、为了证明命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】的真伪，我让薛老师诚恳的回答【在一次演算中，后继运算最多能运算多少次？最终得到的是自然数还是无穷序数？】

薛老师确实给出了明确的答复，说的很清楚。在给出答复的同时伴随着论证过程。这个论证过程就是数学证明。薛老师如果对此有异议，认为这不是证明过程，请给出理由。

薛老师说：“〖在数学的证明中，只允许有穷步骤的逻辑推理和有穷次数的演算，而不能使用无穷步骤的逻辑推理和无定义的无穷次数的演算。〗”

来看薛老师的论证过程和证明过程。薛老师在证明中给出了答复：在一次演算中，后继运算最多能进行【无穷次】。最终得到了全体自然数和【全体自然数的集合】。

薛老师说：“经n次的后继演算中最终得到的数为n。那么在n次演算中，得到的自然数集合是{0.1,2,...,n}，而集合{n+1,n+2,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；在n+1次演算中，得到的自然数集合是{0.1,2,...,n+1}，而集合{n+2,n+3,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；…。如此进行无穷次的演算之后，所有得到的无穷个自然数集合，就是所有得到的的这无穷个有穷集合的并集。而没有被这无穷次的演算得到的自然数都在这未得到的无穷个集合的共同交集当中。因为可以证明这个交集是空集。这就告诉我们经无穷次演算过程，得到全体自然数。这证明很简单，任何自然数n都可在n次演算中得到，而不在超过n次演算未被得到集合之中。”

薛老师在论证和证明中出现了【如此进行无穷次的演算之后，所有得到的无穷个自然数集合，就是所有得到的的这无穷个有穷集合的并集。】和【这就告诉我们经过无穷次演算，得到全体自然数。】。

关于后继演算，在《Zmn-003》和《Zmn-1147》中谈到的都是同样的后继演算，同样都是处在证明之中，一个义正辞严的忌用无穷次演算，一个理直气壮的使用无穷次演算。

难道薛老师已能做到在证明中，分别出和辨别出，后继演算与后继演算的不同？请薛老师给出明确的答复。事关自己的观点和立场 ，请务必说清楚！

接下来在《Zmn-1147》中的无穷次后继演算得到的直接结果是什么？以我论述方式就是：在一次演算中，无穷次的后继运算得到的直接结果是什么？是无穷序数ω吗？显然不可能是有穷自然数。一次演算严格对应一个演算结果，无穷次的后继演算必然对应一个直接的演算结果。除了ω薛老师似乎没有其他选择。当然事关诚恳的态度，薛老师要亲口告诉我们。

3、薛老师给出了后继演算【最多】能演算无穷次，【最终】能得出【全体自然数的集合】的证明。证明中不光使用了无定义的和不可能做到的无穷次的演算，而且还进行了循环论证。

薛老师说：“这证明很简单，任何自然数n都可在n次演算中得到，而不在超过n次演算未被得到集合之中。”

为了证明命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，在证明过程中却使用了该命题，即【任何自然数n都可在n次演算中得到】。

二、数学中最大的客观事实是，由于自然数的基本性质的限制，数学中不存在无穷过程，也形成不了无穷过程。

1、薛老师说：“由于人的感观受到时空的限制，人所进行的推理和演算，受到禁忌，只允许使用有穷次的推理和演算。但而并不是否定客观无穷的存在，在客观上【忌用无穷】。要知道客观上的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷过程不受时空的限制，是完全可以完成的。”

薛老师这么说可能会误导一些读者。我再次引用薛老师关于无穷忌用的观点：“且不可低估了人的逻辑思维和认知能力。人们可以用有穷步骤的推理来定义和把握无穷的对象，而不需要无穷次的推埋和无穷次的演算！”

有穷步的推理和有穷次的演算已能证明无穷对象的存在。无穷步的推理和无穷次的演算，完全没有用武之地。况且在皮亚诺公理和集合论公理中，只有无穷对象的存在，完全找不到无穷过程的存在。

但薛老师在数学中强硬加塞一个从来没有的无穷过程。让元素可以从有穷数量增长到无穷数量，让操作步骤可以从有穷次跨越到无穷次。但对于如何从有穷增长到无穷或跨越到无穷，这种硬伤如何解释。我多次提及，薛老师完全视而不见置之不理。

2、至于物理世界中的无穷过程如何完成。我已说过物理世界中的无穷过程，有时空变量作为自变量可以依赖，达到关键的时空量 ，根据事先的约定，即可宣告无穷过程完成。我根据计数方法的不同，把无穷过程分为两个子过程，在有穷步的推理中和有穷次的演算中，解释了无穷过程的完成。一步推理、一次演算就是一步操作，无穷过程的完成只须有穷步的操作。

第一，数学中不存在无穷过程。第二，根据自然数的基本性质：【任一自然数的后继数都是自然数】，数学中的以自然数计数的演算次数、推理步骤数等各种操作次数，无论如何不可能从有穷突破到无穷。数学中的后继演算虽然不受时空的限制，但依然受自然数基本性质的限制，无法演算到无穷次。说客观上自然数可以从有穷数量增长到无穷数量，完全可以客观完成，这是完全错误的。自然数的基本性质所带来的限制，才是数学中最大的客观事实。想不到薛老师连自然数的基本性质都要违背。

3、薛老师凭借命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】，得出无穷过程可以完成、存在无穷步的推理和无穷次的演算。这不光与自然数的基本性质相违背，而且与您的无穷忌用的观点也是直接冲突矛盾的。现在的薛老师为了迎合某些权威的观点，抛弃了自己的观点。薛老师说曾告诉某位院士其著作中存在无定义的无穷次演算，须忌用。不知道那位院士看到薛老师现在的观点，会作何感想。

另外薛老师可以查阅更多的教科书，和咨询更多的权威人士，以确定命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】是否是国内外数学界的普遍共识。

三、我们首先要统一标准。

1、标准一，无穷过程是谁的无穷过程，是区间的无穷过程还是小球的无穷过程？区间能作为主体产生运动和过程吗！显然不能。无穷过程只能是指小球产生的运动过程，是小球的无穷过程。标准二，在两段运动过程中，如果小球经过的全部无穷个点是完全相同的，那么小球产生的无穷过程就是相同的。这两个标准薛老师是否认可？

薛老师认为小球的目的是为了经过区间中所有点。区间不同，小球经过的区间中的点就不同，进而无穷过程就不同。薛老师把区间与无穷过程进行了关联。殊不知小球为了达成经过区间中所有点的目的，小球经过的全部点可能并不限于区间中的点。小球经过的全部点才是小球产生的无穷过程。

薛老师说：“对于动态运动。精确地说，小球经过右闭区间[0,1]中所有点，同小球经过右开区间[0,1)中所有点是不同的，小球经过右闭区间[0,1]中所有点，包含有经过端点1这个点，但小球经过右开区间[0,1)中所有点，不含有经过端点1这个点。尽管小球到达1这个点的时刻，是小球经过右开区间[0,1)中所有点的完成的标志，但是小球经过右开区间[0,1)中所有点，并不包括小球到达和经过1这个点这一步。也就是说小球经过1这个点并不是小球经过右开区间[0,1)中所有点中的最后一个点。”

为了简洁明了的讨论，我把薛老师上面一段话中的【无穷过程】这四个字作了去除，并对最后一句话略作了修改。但薛老师所要表达的意思，并不受影响。薛老师是否认可？

经过1点是小球为了经过[0,1)中的所有点，小球所必须经过的一个点，这个点是小球在运动中已经经过了的。虽然1点并不是[0,1)中的点，但却是小球运动中必须经过的点。所以小球为了经过[0,1)中所有点所产生的运动轨迹，不光包含[0,1)中所有点，而且包含1点。

静态的看两个区间[0,1]和[0,1)含有的点是不一样的。但把小球放进去，为了让小球做到经过两个区间中的所有点，会发现小球经过的点都是一样的，且都经过1点。两个区间[0,1]和[0,1)虽然不同，但小球经过的点的轨迹都是同样的，按照上面的标准，运动过程是相同的，这正是说明小球为了经过两个不同区间的所有点，所产生的运动轨迹即产生的无穷过程是相同的。

小球在两个相同的无穷过程中，经过的最后一个点都是1点，所以1点是小球运动过程的最后一个点，经过1点是小球完成[自己产生的无穷过程]的最后一步。

2、薛老师说：“动态地讲，t=1这个时刻，标志着【小球经过这无穷个点的无穷过程】的完成。 t=1这个时刻，【小球达到和经过1这个点】，但是【小球达到和经过1这个点】，並不是【小球经过这无穷个点的无穷过程】的一步。”

我说：“不管是有穷过程还是无穷过程，都须要最后一步作为完成的标志，没有最后一步，不光客观上过程完成不了，而且主观上也不能给出过程完成的判断。”

薛老师说经过1点是无穷过程完成的标志，但不是无穷过程的最后一步。我说无穷过程完成的标志就是无穷过程的最后一步，否则缺乏无穷过程的完成标志，我们的判断只能是无穷过程没有完成。

可看出我的观点是与常识经验契合的，具有可信性。但薛老师的观点有悖于常识经验，薛老师应该认真的进行反思。毕竟大多数情况下，正确的知识与常识经验是可相互印证不冲突的。

3、我无限选取剩余的无穷个点，并把【小球经过这剩余的无穷个点】与【小球经过1点】做了对应。小球经过了1点，小球才能经过这剩余无穷个点。小球没有经过1点，小球就没有全部经过这剩余的无穷个点。他们之间是等价关系。

薛老师是说我的操作手法【无限选取】错了，还是等价关系错了？无限选取是选择公理保证的合法合规的操作手法，是一步操作、一次性操作。

薛老师说：“无穷过程的完成，实际上最后是相当稠密的，是在完成时刻前的任意小的时间开区间内，在完成它最后的无穷次的演算后，完成了整个无穷过程的。不是一阳生所说的【一次演算】。而是在最后完成前的一个任意小的开区间内(不是经过一个点，而是一个时间开区间)，稠密地完成了最后无穷次的演算。”

我对薛老师论述的无穷过程完成的评价是，不严谨和违法违规。数列0.9,0.99,0.999,...中各点分明是离散的，即使在靠近1点的任意小区间内，各点肉眼可见的拥挤，也是离散的。我们只能把薛老师说的稠密理解成是比喻。小球客观上能经过无穷个点，但我们主观思维上对小球经过点数的计数次数(此时使用自然数计数)却不能随着小球从有穷次突破到无穷次。违背自然数基本性质的无穷次计数，是无定义的和无法做到的。

我一再强调，这时主观上要进行计数方法的转变，要从用自然数计数的方法转变成用[关键时空节点与无穷进行等价对应]的计数方法。从而帮助我们在主观上认识到小球经过了无穷个点。毕竟客观上的认识和结论，要通过主观上的有穷步推理和有穷次运演算去证明才能得到。

当使用[关键时空节点与无穷等价对应]的计数方法时，执行的是无限选取这一步操作，不是【一次演算或无穷次运算】的操作。此时已停用自然数计数方法了，已让后继运算演算停止运行了。这时运动已进入第二子过程，即从1点之前的某点达到1点的过程。

四、关于潜无穷过程的定义。

看到了薛老师批评我的定义不完全，并给出了建议。我诚恳的接受批评和建议。我觉得采取条件定义的方式定义潜无穷过程，是合适的。如下：

【x趋向于x0】为潜无穷过程，当且仅当，函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。

【n趋向于无穷大(∞)】为潜无穷过程，当且仅当，{an}是数列，且对任意正数ε，总存在正整数N，使得一切n>N，有|an-a|<ε。

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