Zmn-1142 薛问天: 小球【经过1这个点】不是【经过无穷个点的无穷过程的最后一步】。评一阳生《1141》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1141》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

小球【经过1这个点】不是【经过无穷个点的

无穷过程的最后一步】。评一阳生《1141》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，【每个自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，这是自然数的定义。是皮亚诺公理第5公理的等价命题。【所有的自然数有无穷个】，即自然数集合是无穷集合，这是可证的定理。首先要承认这是事实，不容怀疑。这里没有矛盾。无论你怎样【换个思考方式】都帮助不了让【薛老师发现这里的矛盾】。

对自然数这个无穷集合的生成，只是我们根据这个事实进行的直观设想。

一阳生说【如果把后继运算次数清零并再次运算得到新的自然数称为一步演算，须要有无穷步的演算才能得到全体自然数。】，其实你不用清零，也不要称为【一步漓算】，就称为【有穷步演算】。也同样【须要有无穷步的演算才能得到全体自然数】。因为【所有的自然数有无穷个】。

一阳生说【既然薛老师承认自然数计数的潜无穷过程无法形成实无穷集合】

那是当然。生成需要完成无穷步。你的【潜无穷过程】不能完成，当然生成不了无穷集合。

一阳生接着说【那么用自然数计数由0开始的后继运算过程，即使运算过程和计数过程不终止，也不会形成实无穷集合。】这就说的不对，不是【不终止】而是【半途中止或不能完成】不会形成实无穷集合。正确的说法是〖那么用自然数计数由0开始的后继运算过程，即使运算过程和计数过程半途终止或不能完成，也不会形成实无穷集合。〗〖当运算过程和计数的无穷过程顺利完全完成时，就形成了这个无穷集合。〗这才是我们的正确论断。

一阳生的错误在于认为这个无穷过程要么是半途中止，要么就是不终止，不能完成。一阳生的错误就在于认为这个【不终止】就是永远达不到不能完成。他说【为什么可以会不终止，就是因为总有剩余的无穷个自然数正在等待被后继运算得到，但一直没有被运算得到。后继运算和计数只要一直处在有穷次当中，就必然的无法穷尽剩余的无穷个有穷自然数。】是的，无穷过程就是有这个不能半途中止的【不终止】的无穷过程。但是这个不能半途中止的【不终止】的无穷过程，并不是不能完成。只要【处在有穷次当中】自然尚未完成。但为什么【要一直处在有穷次当中】呢，当进行了无穷次运算，就完成了这个无穷过程。小球经过无穷个点的例子就是明证。每经过一个点后面还要经过另外的点，后面有点的性质能终止吗？不能，它经过的每一个点后还要经过另外的点。但是小球经过这无穷个点的无穷过程却全部可以完成。

一阳生所说的【薛老师在这里的无穷步演算注定达不到】显然是错误的。无穷过程就是有这个不能半途中止的【不终止】的无穷过程。但是这个不能半途中止的【不终止】的无穷过程，并不是不能完成。当进行了无穷次运算，就完成了这个无穷过程。

其实一阳生对此也了解得相当清楚。他明确说【当然薛老师不止一次的提出过存在无穷次的运算(或演算)和无穷过程可以完成。(薛老师的无穷过程完成是指元素数量从有穷增长到无穷。)薛老师可以通过把次数如何从有穷次达到无穷次，和究竟如何从有穷过程到达无穷过程，讲清楚明白进行辩解。】

其实这并不需要我来辩解，从有穷次达到无穷，这是客观的事实，从量变到质变有它变化的过程。靠我们的长期实踐来获得认识。总之，不能认为无穷次无穷过程不能完成。

一阳生先生说【即使这样的演算重复进行无穷次，依然有比这无穷个自然数更大的自然数没有被得到。】这种说法是不对的。无穷次的演算完全完成后，形成了所有自然数的集合。就不存在【没有被得到】的更大自然数了，所有的自然数都己得到而且包会在集合之中。

一阴生还说什么【除非在一次演算中就能得到以全体自然数为元素的无穷序数ω，才能以此确保在每次演算中无穷序数ω之下无论多大的自然数都能被得到，但这是不可能的。】实际上无穷过程的完成，最后是相当稠密的，在完成时刻前的任意小的时间开区间内，都要完成稠密的无穷次的演算。不是离散地通过【一次演算】。无穷过程没有【最后一次演算】。这是无穷过程的完成同有穷过程的完成间的重要差别。说无穷过程的完成【这是不可能的】，当然是严重的错误。

一阳生说【薛老师说：“在集合论中，所有的自然数都是有穷数。无论多大。都可以由0经有穷次后继运算而得到，”。薛老师这句话是错误的，薛老师这句话是说在一次演算中就可以包含无穷次的后继运算，并遍历所有的自然数，如此意味着在一次演算中就能得到无穷序数ω。】

要知道【说在一次演算中就可以包含无穷次的后继运算】，这是一阳生先生的错误观点。一阳生先生说【简洁的说就是在一次演算中，让后继运算持续的进行下去不终止。看到底能不能遍历所有的自然数或到底能不能直接生成全体自然数的集合。答案是显然不能的。如果一次演算不能，那么重复无穷次这样的演算，同样是不能的。】

我前面已经说过，无穷过程的完成，实际上最后是相当稠密的，是在完成时刻前的任意小的时间开区间内，在完成它最后的无穷次的演算后，完成了整个无穷过程的。不是一阳生所说的【一次演算】。而是在最后完成前的一个任意小的开区间内(不是经过一个点，而是一个时间区间)，稠密地完成了最后无穷次的演算。正如小球的运动，不是在经过1这个点作为最后的【一次演算】，而是对任意小的ε，在(1-ε，1)这个任意小的时间开区间内，完成了小球最后经过的无穷个点，完成了无穷过程。不知一阳生是怎么想的，这个无穷过程的完成同我薛某一顿能吃几碗饭一点关系都没有。不知他在说什么。

最后一阳生说【所以我为什么说命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】反直觉反逻辑，薛老师一定要细品。把全称量词【任一】改为存在量词【一些】才是对的。】

我一直不明白一阳生为什么要这么讲。

【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】，这个【任一】就是所有的意思，这是自然数的定义，皮亚诺公理5所决定的事实，为什么要错误地改成【一些】。你说说你发现了哪个自然数不可由0经有穷次的后继运算得到。说出来听听！

二，不知一阳生先生想说什么。最好先想清楚再说。你是想给【潜无穷过程】下完全定义吗？难道你的定义就是

【定义【x趋向于某定值A或无穷大】为潜无穷过程。】？

你下这个定义是想说明什么问题？你这样定义【潜无穷过程】的潜字体现在什么地方，无穷体现在什么地方。相应的【实无穷过程】【潜有穷过我】，又该如何定义？......。不知你想说什么？

三，用数学归纳法证明【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】，可参考我在《1107》用数学归纳法对【公理五】的证明。

如果定义P(k)=【自然数k可由0经有穷次的后继运算而得到】，显然要证明的【公理五】就是(∀k∈N)P(k)。为了证明【对任何自然数n，P(n)为真。】用数学归纳法，就是要【证明P(0)为真】，而且【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明P(n+1)为真。】

【证明P(0)为真】不成问题，因为0是由0经0次后继运算得到的。关键是【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明P(n+1)为真。】

根据自然数公理2，对任何自然数n，n+1是由n经1次后继运算得到的。因而在假定P(n)为真，知自然数n是由0经有穷次后继运算而得到，n+1则是由0经有穷次加1次后继运算得到的。所以，仍是有穷次后继运算得到的。所以推出了P(n+1)为真。这就是【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明了P(n+1)为真。

从而根据数学归纳法证明了【公理五】。

一阴生还要让我证明【薛老师一顿可以吃任意有穷碗饭】。並说出【两者的证明过程和证明结果有何异同，请薛老师给我们详细比较一下！我们能借此看出薛老师是否真的懂数学归纳法。】

这个题显然出错了。【薛老师一顿可以吃任意有穷碗饭】，是个错误的命题怎么能用数学归纳法来证明呢？我一顿顶多吃一小碗饭，怎么能说我【一顿可以吃任意有穷碗饭】呢？不要说我，说【任何其他人一顿可以吃任意有穷碗饭】，都是错误的。任何人都有他可能最多吃的几碗饭。不可能吃任意有穷碗饭。这是一阳生先生认识的错误。

当然从这个错误的出题，【我们能借此看出】一些出题人【是否真的懂数学归纳法】。

四，这就是判断你的说法的严格程度。当你把【经过小于1的这无穷个点的过程】称作是无穷过程时，由于1不是小于1的这无穷个点之一，【经过1这个点】就不是这【无穷过程的最后一步】。无穷过程没有最后一步。【经过1这个点】只是标志着无穷过程的完成，但不是无穷过程的组成部分。另外说【经过1这个点】时通过【一次演算】经过了无穷过程的最后无穷个点，的说法是错误的。【经过无穷过程的最后无穷个点】是在小于1的时间段(1-ε,1)中完成的，不是在【经过1这个点】时完成的。

因而一阳生先生说【不管是有穷过程还是无穷过程，都须要最后一步作为完成的标志，没有最后一步，不光客观上过程完成不了，而且主观上也不能给出过程完成的判断。】这种说法是不对的，

【经过1这个点】只是标志开区间(1-ε.1)这个时间段的完成。并不说明它是这个开区间段任务的组成部分。在这个开区间段完成的才是这个无穷过程完成的最后无穷多步。把【经过1这个点】看成是无穷过程最后一步是错误的。1这个点并不是无穷过程必要经过的那无穷个点之一。

在这里一定要实事求是，符合真实，不可是非不分。不能把不是无穷过程的内容当作是它的一步。

当然这里也并不存在什么【动静不分，思维混淆。】的问题。

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