Zmn-1141 一阳生 : 给出潜无穷过程及其动态结果的定义，兼评论薛老师的《Zmn-1136》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1136》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

给出潜无穷过程及其动态结果的定义，

兼评论薛老师的《Zmn-1136》。

一阳生

一、考察命题【每个自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，得到自然数的方式和机制。

薛老师说：“每个有穷次运算都是有穷次的，但所有的有穷次演算却有无穷个。”

薛老师故意把话说的很别扭，但所表达的含义还是相当清楚明白的：由0开始的【有穷次运算】能够得到【每个】自然数，但所有的自然数有无穷个。即认为命题【每个自然数都可由0经有穷次后继运算得到】成立。（和自然数有无穷多个。）

薛老师似乎想通过这句话告诉我们，通过命题【每个自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，得到自然数的方式或机制是什么。

薛老师的话告诉我们：为了得到1，让后继运算由0开始进行1次；为了得到2，先把之前的运算次数清零，让后继运算重新由0开始进行2次；为了得到3，先把之前的后继运算次数清零，让后继运算重新由0开始进行3次；…；为了得到n，先把之前的后继运算次数清零，让后继运算重新由0开始进行n次；等等。如果把后继运算次数清零并再次运算得到新的自然数称为一步演算，须要有无穷步的演算才能得到全体自然数。

薛老师亲口承认过以自然数计数的潜无穷过程无法形成实无穷集合。显然用自然数可以计数有穷步的演算，但无法计数到无穷步的演算。薛老师在这里的无穷步演算注定达不到。

我认为通过命题【每个自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，得到自然数的标准方式或机制应如下：

由0开始后继运算一次，得到1，累计运算1次并累计得到1个自然数；在1的基础上后继运算一次，得到2，累计运算2次并累计得到2个自然数；在2的基础上后继运算一次，得到3，累计运算3次并累计得到3个自然数；…；在n-1的基础上后继运算一次，得到n，累计运算n次并累计得到n个自然数；…；在(某有穷次-1次)的基础上后继运算一次，得到某有穷自然数，累计运算某有穷次并累计得到某有穷个自然数；等等。

既然薛老师承认自然数计数的潜无穷过程无法形成实无穷集合。那么用自然数计数由0开始的后继运算过程，即使运算过程和计数过程不终止，也不会形成实无穷集合。薛老师要知道为什么可以会不终止，就是因为总有剩余的无穷个自然数正在等待被后继运算得到，但一直没有被运算得到。后继运算和计数只要一直处在有穷次当中，就必然的无法穷尽剩余的无穷个有穷自然数。薛老师须要能深刻理解这句话。

当然薛老师不止一次的提出过存在无穷次的运算(或演算)和无穷过程可以完成。(薛老师的无穷过程完成是指元素数量从有穷增长到无穷。)薛老师可以通过把次数如何从有穷次达到无穷次，和究竟如何从有穷过程到达无穷过程，讲清楚明白进行辩解。但像【因为有无穷个自然数和无穷集合的存在，所以运算或演算必须能达到无穷次，否则无穷过程无法完成，无穷集合将不复存在。】这种毫无逻辑性关联和言之无物的辩解，薛老师就不要再提了。潜无穷过程都达不到的无穷集合，神秘的无穷过程却能达到。从有穷到无穷的计数过程是怎么样跨越的，期待薛老师的辩解。

薛老师说：“任何自然数的形成中，【后继运算只能进行有穷多次】，但是，所有这样有穷生成的自然数【有无穷多个】。亦即，任何有穷次后继运算只能成生有穷个自然数的集合。但是，所有这样生成的有穷集合有无穷多个。这里并无矛盾。”

我们来换个思考方式帮助薛老师发现这里的矛盾。在得到一个由自然数表示的集合后，把后继运算次数清零，重新由0开始去得到新的由自然数表示的集合。把这个过程称为一次演算。我们要求在每次演算中，都要尽可能得到所能得到的最大自然数。显然薛老师也知道每次得到的无论多大都是有穷自然数，总有更大的自然数没有被得到。让这样的演算重复进行无穷次(实际上无法做到无穷次，我们只是假设可以做到)之后，结果还是有更大的自然数没有被这无穷次的演算所得到。也就是说每一次的演算，都得不到最大的自然数，仍有更大的自然数没有被得到，即使这样的演算重复进行无穷次，依然有比这无穷个自然数更大的自然数没有被得到。除非在一次演算中就能得到以全体自然数为元素的无穷序数ω，才能以此确保在每次演算中无穷序数ω之下无论多大的自然数都能被得到，但这是不可能的。薛老师说：“在集合论中，所有的自然数都是有穷数。无论多大。都可以由0经有穷次后继运算而得到，”。薛老师这句话是错误的，薛老师这句话是说在一次演算中就可以包含无穷次的后继运算，并遍历所有的自然数，如此意味着在一次演算中就能得到无穷序数ω。

简洁的说就是在一次演算中，让后继运算持续的进行下去不终止。看到底能不能遍历所有的自然数或到底能不能直接生成全体自然数的集合。答案是显然不能的。如果一次演算不能，那么重复无穷次这样的演算，同样是不能的。多举个不恰当的例子，比如薛老师一顿饭有时吃一碗甚至不吃，有时候很饿能吃到很多碗。我们说薛老师一顿能吃下有穷碗饭，那么在很多顿甚至无穷顿之后，我们能说薛老师在无穷顿中的某一顿把任一有穷碗饭都遍历了吗？答案是显然没有。

所以我为什么说命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】反直觉反逻辑，薛老师一定要细品。把全称量词【任一】改为存在量词【一些】才是对的。

二、潜无穷及其动态结果的数学定义及独特意义。

哲学认为事物不是孤立存在的，事物之间存在关联；同时事物也是处在运动变化之中的。那么与之相呼应或对应的，数学中的对象处在关系当中和对象之间存在行为动作也是合理合逻辑的。

首先关于数学对象的存在性。公理特别是存在性公理和存在性关联公理直接保证了数学对象的存在。

关于数学对象之间的关系。在保证对象存在的同时还须定义对象的独特内含，这就用到了该对象与其他对象之间的各种关系或其否定关系。根据公理或关系定义，这些关系联合其否定关系是被规定为对某类型全体对象都适用的。是可应用数学归纳法证明其究竟是否对某类型全部对象具有普适性的。各对象的独特内含一经确定，各对象之间的关系当然是不变的静态的。

关于对象之间的行为动作。数学对象一经给定，就不再变化，不会由A对象变化为B对象。数学对象之间的行为动作体现为对象之间的运算。那么用潜无穷过程来进一步反映哲学中绝对的永恒的运动过程，也是顺理成章的。

潜无穷不是李鸿仪老师口中的外延可变集合，也不是薛老师口中的弹性集合。薛老师把弹性集合定义为以时空量等为自变量，以确定不变的集合为函数值的函数。但以静态不变的量为自变量和因变量的函数并不能全面的反映数学中的运动变化问题。

可在实无穷、函数和极限定义的基础上，定义【x趋向于某定值A或无穷大】为潜无穷过程。这时x虽然无法取值定义域内的任何静态数，但可确定x依然处在使其有意义的取值范围内。当【x趋向于某定值A或无穷大】时，定义f(x)的值为动态数。每一具体的潜无穷过程导致的动态数是唯一的。特别的当f(x)的极限为0或无极限时，f(x)称为无穷小量或无穷大量。

我确定如此定义不会对极限定义造成实质性的改变和不良后果。

潜无穷过程及其导致的动态结果如潜无穷，表达一种不同于静态数的独特的量属性。根据当前的集合论公理，似乎不能作为集合对象，但不代表不能作为其他类型的数学对象。根据替换公理，动态结果还是可以作为集合的元素的。而且潜无穷过程导致的动态结果还是可以与静态数进行比较的。

实无穷的存在有其正统的根据，我之前已经给出。潜无穷过程不能生成实无穷集合，并不是被否定的理由。

薛老师说：“在我的认识和集合论中，所有的数。要么是有穷数，要么是超穷数，没有什么【潜无穷、…、无法被具体定义和无法被具体认知的更大的有穷】。”

薛老师应理性的思考别人说的是否合理，是否与现有理论存在矛盾。如不合理、矛盾，可以此作为批判的依据。但薛老师却以书中没有、在自己的认知之外为由不予承认和否定。以薛老师的境界与格局不应如此。

三、关于用数学归纳法证明【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】和证明【薛老师一顿可以吃任意有穷碗饭】。两者的证明过程和证明结果有何异同，

请薛老师给我们详细比较一下！我们能借此看出薛老师是否真的懂数学归纳法。

四、我说过小球不达到和不经过1点，小球经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个点的无穷过程就完成不了。薛老师也同意了。

由于0.9,0.99,0.999,...这无穷个点没有最后一个点，我们要如何判断经过这无穷个点的无穷过程完成？只能通过小球达到和经过1点来判断。小球是否可以只经过这无穷个点而不经过1点就能完成无穷过程？不可以！我也说过经过了第二子过程剩余的无穷个点本身就意味着同时经过1了点，经过第二子过程剩余的无穷个点和1点是整体不可分割的一步操作。小球为了完成经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个点，必须要额外的多经过1这个点。经过1点就是小球经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个点的无穷过程完成所必须经过的最后一个点。因为0.9,0.99,0.999,...这无穷个点本身，没有[可以作为无穷过程完成的标志的]最后一个点。

薛老师说：“所以【数自然数】的无穷过程可以完成，但没有最后一步。”

不管是有穷过程还是无穷过程，都须要最后一步作为完成的标志，没有最后一步，不光客观上过程完成不了，而且主观上也不能给出过程完成的判断。

薛老师这种说法就是动静不分，思维混淆。一动一静代表数学中两种不同的思维方式方法。薛老师目前还不能做到分别和辨别，无法正确判断很正常。当然这也是书中没有的。

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