关于模糊数学隶属度的综述

葛维亚

       在使用模糊数学来分析判断一种现象的时候，其关键与核心就是推求隶属度。

       隶属度可以理解为对模糊事务的优选频率（0到1或0%-100%），是把研究的问题分组，计算各组的频数和隶属度。这种模糊判断结果，更符合客观现实，更为合理。用形象化的说法，它是对牛顿当年“大猫走大洞，小猫走小洞”潜意识批判与最彻底的更正。

隶属度的概念

       隶属度（Membership Function）是一组用于计算模糊集合的函数，它可以将一个给定的值映射到范围[0,1]之间。这个数值区间，实际上就是使最后得出的结果确定并约束在%0到100% 之间，依此用于模糊集合表示某个特定属性或者实体隶属于该集合的程度。

       隶属度是模糊集合的一种类型，它描述了某个元素如何隶属于某个模糊集合。它仅仅表达了元素隶属于集合的相对度。所有的隶属度都是用于描述一个特定的属性或者实体的概念，这种属性或实体可以是确定的，也可以是不确定的。这些与课题要解决的具体问题和计算者的个人经验密切相关。

      “隶属度”可以被定义为表达集合中的元素或属性的隶属关系及其函数表示方法。

隶属度的计算

       隶属度计算是模糊计算的重要组成部分，用于描述事物的模糊程度。在现实生活中，很多事物都存在模糊性，例如“高矮”、“肥胖”、 “颜值”、“智商”、“情商”、“嗅觉”、“味觉”、“听觉”、“暴雨”、“洪水”、“泥沙分类”等的类别或区分，这些概念并没有明确的定义，而是存在一定的模糊性。因此，隶属度计算公式可以帮助我们更好地描述这些模糊概念。

       模糊计算可以分四个部分：模糊规则库，模糊化，推理方法和去模糊化。模糊规则库是专家提供的一些规则。模糊化是根据隶属度函数从具体的输入，得到对模糊集隶属度的过程。其中隶属度是模糊计算最重要，最核心的部分。推理方法是从模糊规则和输入，对相关模糊现象的隶属度得到模糊结论的方法。去模糊化就是将模糊结论转化为具体的、精确的输出过程。以此得到模糊计算的最终结果。模糊计算的流程为：开始→输入变量→将输入变量模糊化→利用相关模糊规则获得结论→将结论去模糊化→输出明确的结果→结束。

        隶属度计算公式的基本形式为：

                    μ A(x) = f(x)                （1）

  上式中，μ A(x)表示元素x属于集合A的隶属度，f(x)表示元素x在集合A中的隶属度函数。隶属度函数用于描述元素x在集合A中的隶属程度。

       隶属度的计算，通常使用的方法有模糊统计法、二元对比排序法、客观选用法、直接指派法、专家经验法（其中最著名的为特尔斐法）、铁定客观法等，，这与事务环境的传统习惯以及计算者智商、学识、生活经验密切相关。

隶属度的应用

       隶属度计算的应用非常广泛，可以帮助我们更好地描述模糊概念，为用户提出“多快好省“的最优化方案。另外，隶属度在模糊控制、模糊分类、模糊决策等领域都也会起到重要的作用。

      在模糊控制中，隶属度计算公式可以用于描述输入变量和输出变量之间的关系。例如，假设我们要控制一个加热器的温度，输入变量为室温，输出变量为加热器的功率，我们可以使用隶属度计算公式来描述室温对加热器功率的影响。

       具体来说，隶属度函数可以用来识别数据属于哪一类，也可以用来填充缺失的数据，例如可以判断选矿前景、确定合理的化学剂量、机械故障诊断等等。从行业来看，可以在金融、环保、教育、卫生、医疗、交通、航空、机电、水利、采矿，冶金、农林等说不完的众多领域发挥不可替代的作用。

       我是水文科技工作者，在此专门谈谈隶属度在水文水资源领域的应用。

       在制定水文水资源最优决策有关问题时，分为三种情况，第一种对于确定现象，能够采用函数表达式时，采用一阶导数为零的方法推求最优值，不能采用函数表达式时，采用数学优选法处理；第二种对于随机现象，采用数学概率论和数理统计处理；第三种对于模糊现象，采用数学模糊集合处理。

       有关的数学方法在水文水资源中的应用已有很长历史，常用的是线性代数、解析几何、微分学、积分学、线性回归，频率计算、最小二乘、数理统计、数值分析、数值计算、数理方程、数学模型、线性规划、数学建模、多维分布、随机过程等。然而，由于使用的实测或整编资料的长度、精度，一致性、代表性的影响，计算误差及随机误差有时很大，此时，采用以隶属度为权重建立的加权回归模型，明显提高了回归计算的精度。

       模糊数学隶属度在聚类分析与模糊综合评价方面、经常用于水文测站测流测沙、水文计算、水文预报、水文资料整编、水质污染等项目，得到了良好的结果。

      此外，在水文水资源行业，隶属度可以应用在部门管理、水文年度划分、站网规划、水循环、水平衡、汛期确定、汛限水位、河流梯级开发、水库调度、水资源承载能力、可能最大暴雨、可能最大洪水、流域汇流、概念性模型、水文要素表结构、水文数据库，水位流量单值化、水资源时空分配、河流泥沙分类、水质评价、统计检验等课题，合理性与精度大大提高。

       在隶属度计算中，聘请高水平专家集思广益，选用符合实际的资料，去伪存真，合理性分析和论证十分重要，选择经验性资料切忌挂一漏万，模棱两可，优劣难分。