Zmn-1110 薛问天: 正确理解微分的精确定义和直观含义。评新华先生的《1109》

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正确理解微分的精确定义和直观含义

评新华先生的《1109》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

微积分理论中的【微分】到底它的含义是什么？确实需要弄清楚，一个是它的精确定义。一个是它的直覌含义，一定都要搞清楚。

首先要搞清楚，微分是函数的属性。对任何函数都定义了这个函数的两个微分，一个叫函数的因变量微分，一个叫函数的自变量微分。微分的直观含义是该函数变量增量的线性主部。

微分是这样定义的。对函数y=f(x)，如果在某点x的邻域，有Δy=AΔx+0(Δx)，其中Δx是变量x的增量，Δy是变量y的增量，A是一个常数，当Δx→0时，o(Δx)是Δx的高阶无穷小。则称函数y=f(x)在x点可微。称AΔx为函数的因变量微分，记作dy，称Δx为函数的自变量微分，记作dx。

称常数A为函数在x点的导数，记作f′(x)。也就是说，对函数y=f(x)，定义的两个微分分别是dy=Adx和dx=Δx。导数f′(x)=dy/dx。

从这个严格的数学定义，可以明确看出，函数微分和导数直观含义如下。函数的两个微分就是函数的两个变量的增量相对于自变量增量Δx的【线性主部】。

函数的因变量微分dy=AΔx，的含义很明显，它是Δx的线性函数。说dy是增量Δy的线性主部，意思是说它们的差Δy-dy是Δx的高阶无穷小。即当Δx→0时o(Δx)/Δx→0。这可以明确看出线性主部是成立的。而且这个线性函数的系数就是相应切线的斜率。这也是导数A是切线斜率的直观含义。

对于函数的自变量微分dx=Δx，线性主部自然也成立，因为自变量的增量就是Δx，当然是Δx的系数为1的线性函数，而其差为0自然是Δx的高阶无穷小。所以函数的自变量微分也是该变量的增量相对于Δx的线性主部。

对函数的微分的直观含义的理解，函数的两个微分就是函数的两个变量的增量相对于自变量增量Δx的线性主部。这个理解是相当重要的。我们可以用这点来分析新华先生对微分的理解。

一，从以上的分析来看，张景中对微分的理解是完全正确的。同微积分中对微分的定义完全等价。没有任何不一致的地方。我们来逐一分析新华的评语。

1，新华说【实际增量∆𝒙与微分𝒅𝒙就是一回事，因此∆𝒙=𝒅𝒙，不存在定义问题，】微分当然要定义，不定义怎么知道函数的自变量微分dy=dx，【是一回事】。任何数学概念都要【定义】。

2，张景中把微分解释成“算子”，提供微分的一个等价的定义，对微分概念作进一步的理解，丰富了微积分的理论。不存在什么【与微积分教材的本意不同，反而使问题更加复杂化，理解更加困难。】的问题。

3，新华说【教材中∆𝒙=𝒅𝒙显然没有用定义方式进行定义，只是在不同地方称谓不同而已，】这是不对的，引出称谓就是定义。

张景中用恒等函数𝑰(𝒙)=𝒙，推出𝒅𝑰(𝒙)=∆𝒙，完全是正确的，𝑰(𝒙)=𝒙在数学中就是函数𝒚=𝒙，这里说的是把自变量看作是自变量的恒等函数，並没有推广到一般情况中去，不存在任何问题。不存在【使得问题更加复杂化，理解更加困难。】的问题。这里的恒等函数同编程语言中的赋值语句 x=x 没有任何关系。

4，新华说【从张景中的两个定义：𝒅：𝒇(𝒙)→𝒇′(𝒙)𝒉和∆：𝒇(𝒙)→𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)根本推导不出∆𝒙=𝒅𝒙，】这是新华先生自己的问题。如果f(x)=I(x)，因为I′(x)=1，所以当把自变量x看作是恒等函数I(x)时，就有dI(x)=I′(x)h=h，即dx=h，另外ΔI(x)=h，即Δx=h，所以就得出dx=Δx。

5，新华说【微分本身就是对变量的微分，变量𝒙的微分为𝒅𝒙，变量𝒚微分为𝒅𝒚，......】

新华先生的问题就是他没弄请，函数的两个微分就是函数的两个变量的增量相对于自变量增量Δx的线性主部。他只说微分是变量的微分，而没说微分具体是什么，要说清楚微分是该变量的增量的线性主部。这才是微分真正含义。

而张景中的理解则说清楚了是f′(x)h，同微积分中的定义，是变量增量的线性主部完全等价。特别关于自变量的微分。张景中把自变量看作是自变量自己的恒等函数x=I(x)，然后用他的算子求出函数的自变量微分dx=Δx，同微积分中的定义完全等价。

新华先生说什么恒等函数【不是数学中的函数而是编程函数】，这种看法是错误的，恒等函数当然是数学上的函数，同编程没有任何关系。这属新华先生的认知问题。

二，下面我们来分析新华先生对微积分中对微分定义的评论。主要表现在新华先生在逻辑推理上的错误。

1，新华先生论述在微积分中定义中，可证导数即微分商dy/dx是增量比Δy/Δx在Δx→0时的极限，这没有错误。但最后说【而∆𝒚/∆𝒙中的∆𝒙趋近于 0 而不等于 0，因此𝒅𝒚/𝒅𝒙与∆𝒚/∆𝒙的属性必然不同，这就充分表明在导数或导函数的定义中，“𝒅”与“∆”的意义不同，属性也不同，必然就不存在∆𝒙=𝒅𝒙的关系。 】这是逻辑推理错误，由dy/dx≠Δy/Δx推不出Δx≠dx。

我们知道在dy=AΔx，dx=Δx的定义下，Δy/Δx同dy/dx的差是o(Δx)/Δx ，因而Δy/Δx 並不等于dy/dx，但它们的极限相等而且dx=Δx。

2，在这点的评论同样是新华本人的认识问题。尽管在dy=AΔx和dy=Δx的定又中，允许Δx=0 。在Δx=0时，dy=0和dx=0。但是在讨论微商dy/dx和Δx→0的极限时，都是假定Δx≠0的。所以新华说什么【𝒅𝒚、𝒅𝒙都是在∆𝒙当成 0 的条件下得出来的，在表达式𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙中，∆𝒙就应该当成 0 来处理，】属于认识上的错误。因而由此说什么【𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙是绝对错误的表达式，表明用强行定义𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙不符合逻辑定义规则，定义是错误的，】这些论断毫无根据，是完全错误的评论。

3，微分商dy/dx，和增量比Δy/Δx的含义当然不同，一个是切线斜率，一个是割线的斜率。但注意这是微分商同增量比不同，并不是微分同增量的不同。概念要清晰。

4，5同理，微分商dy/dx，和增量比Δy/Δx，只是当Δx→0时的极限相同。数值并不相同，当然概念不同。新华先生说【教材把增量与微分看成是同一概念，因此，认为𝒅𝒙=∆𝒙是绝对错误的。 】当然新华先生是错误的认识。微分定义dy=AΔx，dx=Δx，并没有【把增量与微分看成是同一概念】。

这完全是认识问题。函数的因变量微分和自变量微分当然和相应变量的增量不是一个概念，而是把微分看作是相应变量的增量相对于Δx的线性主部。只不过函数自变量的增量就是Δx，所以相对于Δx的线性主部就是Δx自身。这并不影响微分同增量是不同的概念。也根本【并不存在矛盾】，也不存在什么【是不得已而为之，将错就错，】的问题。 

6，同样是逻辑和认识的问题，新华先生并没有具体地从导函数表达式𝒅𝒚/𝒅𝒙= 𝒇′(𝒙)和积分公式的推导中，推出【增量∆𝒙与微分𝒅𝒙概念的差异和应用上的差异】，因此，新华轻意得出的结论说【教材𝒅𝒙=∆𝒙的表达是绝对错误的】，毫无根据，是错误的。

7，新华先生没有认识到dx引出后，【∆𝒙就彻底退出微积分的历史舞台内容，完全由𝒅𝒙扮演角色。而且在推导和应用包括微分方程中都没有出现任何歧义。】这正好表明微分dx=Δx，是完全正确的。正是由这两者相等，只提dx就代表提到了Δx，是完全融洽的。 

结论。

新华先生最后给张景中《我对微分的理解》的三点评论都不正确 。

他说【并没有澄清关于微分的困惑】，要知道微分並没有什么【困惑】需要澄清。

他说【其内容不仅存在矛盾，还会引起更多的困惑，】这更不着边际。新华先生并未提出任何矛盾和引起的困惑。

他说【因此其观点是完全不可取的。】当然这样的结论是毫无根据的。张景中对微分的算子的理解同微积分的原有定义完全等价。

新华先生对现行微积分教材关于微分定义的理解同样存在不妥。

他认为现行微积分教材存在问题，【前后就存在矛盾，除了教材定义微分𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙和𝒅𝒙=∆𝒙违反逻辑同一律之外，其目的也只是为近似计算服务。】

这一切都说明新华对微分是相应变量增量的线性主部的含义，根本没有了解。说什么【违反逻辑同一律】完全是无中生有的歪曲误陷。微分的引入当然为增量的近似计算提供了重要的理论根据，但它作为增量的线性主部的理论意义远远超过近似计算。

新华说【𝒇′(𝒙)∆𝒙不是表示微分，而是增量，这由增量∆𝒙体现出增量的属性。】新华先生没有理解微分的含义是什么，要知道微分就是相应变量增量相对于Δx的线性主部。微分的所有属性都是由此决定的。

新华说【现在最关键的是如何赋予微分恰如其分的含义，让它名符其实担当微分的职责，就会让微积分更完美，】说明他并不了解正是【线性主部】的这个微分的含义使微分这个概念【名符其实担当微分的职责】，已经【让微积分更完美】。

这一切都是新华先生的认识和理解中存在的问题。在张景中先生的认识和现代微积分中并没有什么【数学理论中存在错误和矛盾】以及什么新华先生所说的【可怕的是维护错误和矛盾，把它当成教条，使数学误入歧途，】的可怕问题。

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