如何了解现代的数学：

现代的数学可能和你本科阶段从课本中学到的知识有点不太一样，课本里的知识一般都已经有一点历史了，基本成型了，经过多次改写以最舒服的形式呈现出来。

如果想了解现代的数学有哪些领域，是如何分类的，可以看看这里Mathematics Subject Classification。虽然其中并没有什么实际的数学内容，但是可以让你瞟一眼整个数学大概有哪些方向和专业。如果你不理解其中的名词，可以考虑查一下百科全书（例如维基百科），了解更多的信息。如果想了解得更多，可以看一看各届国际数学家大会里头有哪些分组，里头人们关心什么问题。例如2018年巴西里约热内卢的ICM。

二十世纪初David Hilbert在国际数学家大会上提出了23个问题，引领了数学发展一个世纪，二十一世纪初克雷数学所也提出了千禧年七个数学问题。学好了本科的数学课程之余，开阔自己的眼界也是十分重要的，这七个问题的陈述并不是太高深，在本科课程的基础上想要了解相关的内容并不算十分困难。

如何选择研究方向和导师：

这个问题在当老师之后总要被问到很多次。其实我并没有很好的答案，仅仅在此说一些我个人的看法，并不见得对。

选择研究方向首先是要了解一点点这个方向，那就回到上面一个标题“如何了解现代数学”。上面给的建议基本上是站在一个本科生的角度也许可行的方案。但是其实我对数学的了解，往往是我读书的过程中（包括本科、硕士、博士）和一些跟我方向相距甚远的人闲聊数学中听回来的，听着同事或者朋友给我科普一些方向。也有些是偶尔参加一些简介性的讲座学来的，就像我在科大也会偶尔去听一听给华班学生开的华罗庚讨论班的课程，这些科普的报告对我也是有益处的。所以往往在需要选定一个方向的时候其实对数学的了解甚少，只能凭感觉，同时带上一点运气来选。

      选热门方向还是冷门方向？首先如何区分热冷门，大概可以看今年ICM的获奖人是什么方向的，看看一小时大会报告是哪些方向，这些都意味着这是近期取得相对比较大的突破、涌现出新方法的方向，会是近期（也许是近十年）比较热门的方向。热门一定比冷门好吗？似乎也说不准，很多人加进去做当然意味着会有更多新的思想，是新学问的增长点。但做的人多了同时也将会是竞争比较激烈的方向，是否更容易取得成功，是否毕业后更容易找到工作，这些都不得而知：冷门的方向全世界做得人不多，找工作时相近方向的职位就会少；热门的方向又有可能同一个吸引力大的位置有十几二十个方向相近的同行竞争。

     再进一步的了解一个方向的办法就是去翻一翻这个方向的著名论文（例如在“四大”数学杂志按章MSC分类来找找相关的方向近期的文章），当然读懂摘要和引言的机会很少。但是可以看看整篇文章大概是什么样的风格的，全是不等式还是都是抽象符号，是式子、符号长的你顶不住了还是有几个漂亮的图片。看这些基本读不懂的东西其实只是看看自己能否接受和这样风格的数学相处。

      多征求身边各种老师的意见，即使他们不见得懂你想学的方向，但他的经验至少比你丰富，见识比你广，他一定见过身边的无数成功与失败的案例。

      选导师（指博士导师）和选方向往往是同时的，或者选导师比选方向稍微晚一点。选有名望的老教授还是选年轻人？这也是个玄学：年轻人相对精力充沛、活跃、问题多、往往更接近前沿，有名望的老教授也许在你毕业时能够利用他的影响力帮你找到一份好的工作。其实如果你并不是很出众的学生，选择不是特别多的话，谁愿意要你你就跟谁吧，这也是看缘分的。当然选定一个导师之前可以做以下几件事情：到数学家谱上查一查这个门派里有哪些人，或许有你认识的。问一问周边的人这位导师的口碑如何？是不是曾经有很多人没能在他那里毕业？（不过这也不能完全怪老师，跟学生的表现也有关系。）咨询一下这位导师曾经的学生，他是如何带学生的，是不是能够有足够的时间投入给学生。上网搜一搜这位导师的学生毕业后都去什么地方工作了，是不是还都留在学术圈。

数学是什么：

       傅里叶先生认为，数学的主要目的是服务人类，解释自然现象；但像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀，因此，一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。——C.G.J.雅可比

是否有想过谁是你心目中的英雄？我读本科的时候流行上bbs，看到了这些文字：Heros in my heart 作者后来去了巴黎和普林斯顿念书，现在回国当教授了，猜猜他是谁？

美丽心灵  A Beautiful Mind 电影改编自真实故事，主人公：约翰.纳什（诺贝尔经济学奖得主，领完Abel数学奖之后回家的路上车祸去世，唉！除了博弈论，他在数学上有名的贡献是纳什嵌入定理：任何一个黎曼流形可以等距的嵌入到欧式空间）

人类花了350多年去证明了一个方程没有非零解——Fermat的最后定理。纪录片

如果要问一个数学家什么最重要，回答可能不是别的，而是粉笔

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关于如何写好基础数学的学术论文(中文的建议)：

怎样写一篇(学位)论文（梁永祺2021年5月）

前言 　 　 　 

     回国几年来指导了若干本科生、硕士生、博士生做他们的学位论文，也评审了好一些各个学校的学位论文，好几次改得身心疲惫。发现了许多非数学的形式上的错误、不符合论文写作规范的地方，而且这些不恰当的表述往往有很多共同点。为了不重复工作，我决定还是一次性花时间写以下这些。我要求以后我的学生在动手写论文之前先完整的读完，写完论文之后也再一次对照自查自检后再交给我修改。如果没做到我将拒绝帮你修改文章。当然，如果你已经细读本文，某些部分依然不知道安排什么内容，那可以和导师讨论。 

       以下这些建议很多已经在我的主页推荐的一些国外数学家的个人主页上出现过，可能是由于是英文的，似乎耐心看完的学生不多，我只好用中文重复一次。 以下这些基本适用于基础数学的论文。

         在开始正文之前先提醒一个初学者几乎都会出现的错误。假设从考虑一个数学问题到做出一点结果（或者从开始学习一个主题到了解了整体构思读懂了大部分细节）的时间长度为A，从构思如何用自己的语言把所得的结果（或者所读的内容）写成一篇文章到把文章用LaTeX录入以及修改到满意的时间长度为B。在我从未写过文章之前，我会（毫无根据地）认为A/B这个时间比值大概是5，而当我发表了很多篇论文之后我会认为这个比值其实大概是1或者1.5左右。所以，如果你是第一次动笔写论文（即使已经对LaTeX非常熟悉），千万不要离截止日期只剩两个星期的时候才来动手打字。你后续写作的过程中一定会遇到各式各样你从未想象过的状况：证明到某一步过不去只能糊弄、证明到某一步发现忘了自己之前怎么想的、发现照搬的某个引用里头说的完全是另外一件事情、发现LaTeX报错找不到原因、发现前后文各种记号冲突（包括：不同对象用相同记号和相同对象用不同记号。特别是写综述报告时参考的各个论文的记号都不一样）、发现别人的排版简洁明了对比自己的排版乱七八糟、给导师看后每页能给找出十个明显错误而自己看几遍都没发现、平时英语考试明明是改错题的小能手而到自己写文章错漏百出却怎么也发现不了……如果想把事情做好就不要压着截止日期来做事情，要留有余量。 　 　 　　 　 　 　

     还有一个我经常被学生们问到的问题：学位论文需要写多长？这原本并没有一个标准的回答，我认为如果有你自己做出来的结果、而且创新性足够强，那么5页就够了（毕竟即便是顶尖的数学杂志期刊里也偶尔会出现10页以下的文章）。如果基本没有原创的结果，仅仅是一个读书报告、综述报告（这明显不适用于博士论文的要求），那么正文部分（不含目录、致谢、摘要、参考文献等等）至少也得有20页（本科生）30页（硕士生）吧，否则也实在太不认真了。 基础数学博士论文必须有自己在数学理论上的创新：证明新的定理、之前未出现过的结论。同时，作为学位论文，除了包括创新的部分以外，还应包括背景的介绍，因此通常数学的博士论文都在80页以上，甚至长达好几百页。另外，读书报告、综述报告并不是翻译或者抄书。而是你理解了需要读懂的那部分内容之后，用自己的语言、自己编排把整个故事重新叙述给别人听，过程中需要自己选择侧重点，哪些部分需要详细陈述哪些部分一笔带过，这些都是自己对于各部分内容重要性的理解。“综述报告”顾名思义，应该查阅大量相关的文献，把相关领域研究状况弄清楚之后写出来的描述整体研究状况的报告。获得“综述报告”这个任务时，往往导师只会给学生一篇文章，学生需要的是通过挖掘这篇文章的参考文献把整个故事梗概弄清楚综述出来。同时，很多文献并不是完全正确无误的，很多文献（特别是科研文章）即使正确但缺少某些行内熟知的推理过程，这些都是需要额外查文献后用自己的语言补充完整的。这些都是基础数学科研训练的其中一个部分，按我的理解也正是本科、硕士学位论文以综述报告这种形式存在的必要性。把别人的理论重新叙述也是一种创新（当然大部分这类都是低层次的创新），如果连这都做不到就更不用谈创造自己新的结果。另外，即使是基础数学的前沿理论的读书报告，往往也可以自己计算一个或者多个未被原作者收录的具体例子（自己动手算例子也是经常是基础数学科研开始的第一步）。如果更进一步，可以模仿原作者的办法证明一个类似的结论（也许并不值得发表，取决于是否需要新的想法和新的想法是否有价值），那会使得这篇本科、硕士论文增色不少。这最后一种情况经常只会发生在你读的是一篇/几篇相对比较新的文章而不是读一个经典的理论。 　 　　 　 　

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(学位)论文的基本结构　 　

     一篇数学论文基本应该分成以下几部分：标题、摘要、引言、正文、参考文献、致谢，以下以一篇30页长为例的文章作介绍。文章的形式是多种多样的，是为讲好一个故事来服务的，我仅仅介绍最实用的、最初级入门的一种文章结构，我已经发表的所有文章都是这个框架。并不排除其他文章写作的可能性，但作为初学者，我建议按着这个套路来，等你能发表多篇学术论文之后再去开创你的新写法。

一，标题 　 　 　

     用一句话概括这篇文章的主要内容，即使是一本一千页的书，标题也就那么高度概括，一般不会更长了。尽量做到别人看完你的文章之后，事后看到这个标题能想起来这篇文章大致讲了一个什么故事。

二，Abstract摘要 　 　 　

     不应该超过半页，即使是一百页的文章摘要也不会太长。很多学术杂志期刊对摘要还有明确的字数限制。应该概括全文内容，但是要比题目详细，明确说出文章证明了什么主要结果。尽量利用文字表述陈述结果，尽可能避免数学符号和引用文献。中英文摘要应该一致，不是要求词对词地翻译而是要求表述的意思保持一致。如果是一篇本科/硕士读书报告式的论文，要在这里明示这是一篇综述报告，打算介绍某人证明的某个结论。

三，Introduction引言/绪论 　 　 　

     引言是整篇文章最为难写又最重要的部分，文章的绝大部分读者只会读完引言。对于30页的文章，1-5页的引言是合适的。写一篇文章是向读者讲一个故事，引言部分正是讲故事的地方。首先需要介绍问题的来由：告诉大家为什么人们关注这个问题，这个问题有趣在哪里。然后介绍问题的研究历史、文献综述：已经知道什么、还不知道什么，是否对结论有某种猜测，什么年代哪些人哪些文章对这个问题有什么贡献。最后陈述自己文章获得的主要结果：明确的用数学语言（不是描述性语言）陈述你的主定理、重要推论、有意思的例子。随后评述与前人的结果相比不一样的地方在哪里，有什么具体突破（例如之前理论无法应用而你的结论可以用上的例子）。这里要注意，并没有必要把最一般最完整的结论在此陈述（精确版本可以留给正文），需要严格陈述的是你的结果中最漂亮最吸引人的那一部分，尽量把繁琐的假设条件换成更强但更精炼的条件（而又不失去你的主要应用例子）。目标就是突出你的新结论的亮点。最后的最后，可以概括性介绍你得到此结果的方法新颖之处和之后正文的结构安排。

     引言部分应尽量避免技术细节、避免复杂的公式和符号。 　 　　 　 　 　

四，正文 　 　 　

     对引言中所提到的结论给出详细的证明。不是简单的堆砌证明。要依照逻辑合理分成章节，要让读者觉得命题之间的逻辑关系清晰。（对于初学者）证明切忌跳步，尽可能把细节都落实写下来，要让半内行的人也能够看懂你的证明。有些证明你觉得是平凡的直接跳过是因为你已经很熟悉你的领域内的技巧，但这对读者而言并不友好。用到了非平凡的结论的推理一定要指出来并作引用。

     但要注意：这种包含所有细节的论文并不一定就是最好的论文，更进一步的是做到“一句废话不多，少一句又看不懂”这样恰到好处。但这明显是你多年写作积累之后才能准确拿捏的。

     作为一篇博士学位论文，除了介绍你自己作出的结果之外，也许还需要一部分对基础知识的介绍来展示你对领域内知识的了解。要挑你的结果证明过程中直接用到的那一部分基础知识来展开介绍，而不能完全脱节地选择与你的结果不那么相关的内容来作介绍。　 　 　 　 　 　

五，参考文献 　 　 　

     这里的规范繁多，在本文最后再详细叙述。 　 　 　　 　 　 　

六，致谢 　 　 　

     请写出真情实感，忌复制粘贴。请反复检查，千万不要写错被感谢人的名字，特别是导师的名字。慎重考虑加入男女朋友、配偶名字：你的学位论文很可能在学校图书馆一直保留下去，而这些人有可能会成为你的前任——真理的保质期肯定比其他任何东西长。 不过这都算不上什么，我看过网上更离谱的是，查重时发现两篇毕业论文感谢同一位女朋友！

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关于引用和参考文献列表的一些规范　 　 　

1，  参考文献不是按照在文章中出现的顺序来编号，而是按照作者姓氏的字典序排序。这在LaTeX中是自动实现的，所以提倡用LaTeX写作，否则手动修改牵一发动全身，极其容易出现错误。

2，  尊重文献作者，不要拼错姓名，德语、法语等其他一些外文字符往往带有“音调”，不可省略。

3，  格式整体上要统一，同一本杂志的名称不要在某个文献中用缩写而在另一个文献中用全称。作者姓名也一样。最简单不会错的办法：杂志名不要偷懒，全用全称；作者姓不缩写，名一律缩写。另一个减少不规范的办法：统一从MathSciNet导出参考文献的BibTeX代码。

4，  BibTeX会把文章题目中非首字母自动变成小写，包括本应大写的地方，例如人的姓名。避免这个问题的办法：例:The {B}rauer group of a field。

5，  正确运用缩写。例：Jean-Pierre Serre的正确缩写是J.-P. Serre，把Jean缩成J.，右下角的点不可以省略。其他字符在缩写后都不可以省略，包括空格，包括“-”，但是本来不空格的地方不能增加空格。这个“-”是复姓/复名，和 欧阳修不姓欧 是一个道理。杂志名的缩写同理，如果拿不准请先查询MathSciNet。以下都是错误的：(1)J-P Serre (2)J.-P.Serre (3)J. -P. Serre。

6，  正文中不给出证明的定理、引理、命题等必须给出引用，必须引用到具体定理号码。如果只引用到书，一本书上百页让读者怎么去找？正确格式：[2, Theorem 1.3.2]，这个格式也是LaTeX自动给出的。推理中用到了不平凡的结果也应给出参考文献，也许这些结果只是你的方向熟知的，而并非方向稍远的人所知道。

7，  文章的引言（Introduction）中，文献综述部分只提到某人在某文中得到了某结果，这种情况下并不是必须引用到定理号，可以只引用到文章。

8，  在文中引用别人与自己文章相关的工作时，应该礼貌的提到被引人的姓名，而不是只有一个文章编号。例如：好：Serre在他的论文[17]中证明了某某结论。坏：论文[17]证明了某某结论。好：根据Hironaka的奇点解消定理[8, Theorem 3]我们有某某结论。坏：根据[8, Theorem 3]我们有某某结论。

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 论文的一般写作规范（包括格式规范）

1，  尽量避免太长的句子，把复杂的从句分开成简单句，分解的过程要注意代词要指代清晰。

2，  即使在作者只有一个人的情况下，行文中主语要避免用我(英:I, 法:je)，应该用我们(英:we, 法:nous)或第三人称人们(英:people, 法:on)。原因大概可以理解为(1)你是代表人类发现了某个证明；(2)站在读者的角度，“我们”包括了作者和读者；(3)往往并不仅仅有你知道这个证明，可能很多其他人都知道只是别人不屑于说。

3，  避免空洞的评述：不要仅仅评论某个定理或某个理论的意义而不给出任何例子。可以通过具体的例子，然后说明这个定理或理论解决了之前哪个未知的问题。

4，  尽量避免带有感情色彩的词汇。尽量做到只陈述（或主要陈述）事实，不评论（或少评论）好坏，把好坏的评判权留给读者和审稿人。例如不要说某某定理非常伟大。这是很空洞的，没有信息量话。可以说定理1和定理2相比，假设条件更弱。这种评述是有信息量的。这个道理跟我们日常生活很相似：例如你说“这个苹果很甜”，“甜”这个概念在每个人眼中是不一样的，是一个主观的判断（或者说是带有感情色彩的），一个天天吃荔枝的人可能认为这个苹果根本不怎么甜。而你说“这个红苹果比那颗葡萄甜”，这个让天天吃荔枝的人尝一尝后来判断，很大可能也会得出与你一样的结论。

5，  几乎和上一点同样的道理，想说明自己的结果有意义并不是通过添加形容词来达到目标。应该要和已有的结果相比较，说出不同点在哪，对比自己的结果哪一点更强，改进了哪个地方，从而让读者自己领悟到你的结果的意义，而不是直白的告诉读者你的结果很了不起。你的结果是否有价值是由别人来评判的，由科学共同体来评判的，而不是由你自己吹的。

6，  数学公式不作句子开头。例：“X上没有k有理点。”应该写成“代数簇X上没有k有理点”。数学公式也要尽量避免紧跟逗号、分号、冒号。

7，  一个句子如果以显示公式（即非行内公式）结尾，要注意避免句号被自动新开一行。正确处理方式：... hence we have $$x=y+1.$$要把句号点放在公式环境以内。如果是中文句号，更应该注意：...因此我们有$$x=y+1\mbox{。}$$，如果漏掉\mbox你的句号就不会显示出来。 注意，其他情况下公式环境里头的标点符号，例如“()”和用于列举的“,”等应该用英文的标点。

8，  中文的文章需要用中文的标点符号，“,”和“，”是不一样的。在输入数学字母和输入中文之间来回切换很容易发生错误。

9，  上述两条讲到的标点符号的使用，当在用中文写作时无法避免公式中出现的英文标点和行文叙述中出现的中文标点之间的冲突，只要一篇文章里统一好就行了。所谓的“规范”就是用的人多了就成为了规范，一个比较可行的办法是：找一本由著名的科技书籍出版社近期正式出版的的数学教材看看他的书写规范是什么就行了。

10，  夹在文字叙述中间的数学符号也应该使用数学环境$$，否则前后的字体会很不一样。例：a和$a$输出后长得就像两个不一样的字母，如果混用的话读者就会和英语的不定冠词a混淆。

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LaTeX的一些使用规范（如果你对细节要求比较高，应该注意以下这些，但如果不那么讲究而忽略了也并不是特别大的问题）　 　 　

1，姓氏中与姓氏之间“-”（英文减号）与\textendash应该区分使用。例如：Swinnerton-Dyer是一个人，中间的“-”是减号。Brauer-Manin obstruction中Brauer与Manin是两个不同的人，中间的“-”是\textendash。

2，公式环境$...$中出现的英文字母是自动斜体的。但最规范的讲，并不是所有字母都应该斜体，只有作为变量的字母才应该斜体。例如代数簇X的Brauer群Br(X)中X是一个变量，应该斜体，而Br是永恒不变的应该直体，所以代码应该是$\textup{Br}(X)$。同理，上同调的H，同态Hom，周群CH，正弦函数sin，极限lim等等这些不是变量的东西都应该直体。

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后记 　 　 　

     基础数学的本科、硕士论文很可能会是一篇读书报告、读文章报告、综述报告。这并非没有价值，而写好却不容易。近十年以来的Bourbaki报告都是综述报告，感兴趣的可以去了解一下大数学家如何把综述报告写好。（只有少数几篇是英文的，所以多学一门外语你就多打开了一扇门。）

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关于如何写好基础数学的学术论文一些参考文献（排名依照添加的时间顺序）

[1] J.-P. Serre : How to write mathematics badly.(需要翻墙，渣画质，但这是Serre的报告而且是你能听懂的报告)

[2] MIT的Poonen教授有这样的建议：Practical suggestions for mathematical writing。

[3] MIT的Henry Cohn教授有这样的建议。

[4] 李文威：数学写作漫谈（beamer，pdf）

Ansgar Juengel教授：How to wirte and publish a math paper?

Teaching and Graduate Guidance 教学与指导研究生.docx

转自中国科学技术大学数学科学学院梁永祺老师的个人主页 https://faculty.ustc.edu.cn/yqliang/index.jsp