与ChatGPT关于哥德尔不完备性定理的对话 - 2023/3/6

柳渝：你认为哥德尔不完全性定理的证明存在着错误吗? 

ChatGPT : 作为一个人工智能语言模型，我不能有信仰或意见。然而，值得注意的是，哥德尔不完备性定理已经被数学界彻底研究并接受为数学基础的重要和基本成果。多年来，许多数学家对该证明进行了广泛的审查和检查，没有发现重大错误。尽管如此，像其他任何证明一样，有可能存在尚未被发现或正确理解的错误或漏洞。然而，目前，哥德尔不完备性定理被认为是一个在数学上确定的、 健全的结果。 

柳渝：比如，哥德尔不完全性定理的证明中把原始递归函数当作递归函数，这会导致哥德尔的证明无效吗? 

ChatGPT : 不会，在哥德尔的证明中使用原始递归函数并不会使该定理失效。事实上，原始递归函数是递归函数的一个子集，它们被认为是可计算函数。哥德尔不完全性定理的证明依赖于可计算函数的概念，它包括原始递归函数以及其他类别的函数。 

值得注意的是，哥德尔的证明是一个技术性很强、错综复杂的论证，需要对数理逻辑和递归理论有深刻的理解。原始递归函数的使用只是证明的一个方面，多年来许多数学家对它进行了仔细的研究。虽然证明中可能存在尚未被发现的错误或漏洞，但数学家们的共识是，该证明是合理的，并被确立为数学基础中的一个基本结果。 

柳渝 : 哥德尔的证明中只考虑原始递归函数，由原始递归关系定义的命题是可判定的，而哥德尔的证明目的是寻找不可判定命题，那么，哥德尔如何能找到不可判定命题? 

ChatGPT : 在哥德尔的证明中，原始递归函数被用来构建一个特定的形式系统，该系统能够表达基本的算术语句。 然后，哥德尔表明，在这个形式系统中，有可能构建出一些真实但在系统本身中无法证明的语句。这些语句被称为 “不可判定的命题”。 

哥德尔证明的关键见解是，他所构建的形式系统强大到足以代表算术，但它还不足以证明算术中的所有真语句。这意味着，有些真语句可以在系统内表达，但它们不能在系统内被证明。 

为了构建不可判定的命题，哥德尔使用了一种被称为自指的技术。他建构了对自身进行引用的语句，如果该语句被假定为在形式系统内可被证明，则会导致矛盾。通过证明这种语句的存在，哥德尔证明了形式系统是不完备的，也就是说，有一些真语句在系统内无法被证明。 

因此，虽然由原始递归函数定义的命题在系统内可能是可判定的，但哥德尔能够通过使用自指和形式系统本身的其他技术来构造不可判定的命题。 

柳渝 : 为了构建不可判定的命题，哥德尔使用了一种被称为自指的技术，因此，哥德尔构建的命题本质上是“说谎者悖论”。这样一个悖论命题能成为一个真的算术语句吗? 

ChatGPT : 是的，哥德尔利用自指构建的不可判定的命题是真的算术语句。命题的悖论性源于这样一个事实：如果该命题在形式系统内可以被证明，就会导致矛盾，这就是说谎者悖论的本质。然而，这并不意味着该命题本身是错误的。 

事实上，哥德尔构建的不可判定命题是经过精心设计的， 是可以在他构建的形式系统中表达的真实算术语句。这些语句的真实性不是问题，而是它们在系统中的可证明性。 哥德尔的证明表明，有一些真语句在系统内无法被证明，这意味着形式系统是不完备的。 

因此，虽然如果假设该语句在形式系统内可被证明，哥德尔使用的自指导致了一种矛盾的情况，但是该语句本身是一个真正的算术语句，可以在系统内表达。这是支撑哥德尔不完全性定理意义的一个关键点。 

柳渝：当罗素悖论出现在集合论中时，它被认为是一种危 机，人们努力地去消除它。那么，当说谎者悖论悖论出现在哥德尔的证明中时，为什么人们没有同样的警惕，反而把悖论命题当中正常的算术命题? 

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