随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程，许多重要的随机过程都可由它派生出来，其理论不仅在《随机过程》中占有相当重要的地位，而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。但是，随机游走定义却与《随机过程》教科书中的随机过程定义完全不符，将随机过程X(ω,t)固定ω时的样本函数x(t)当作固定t时的随机变量X(t)，违反形式逻辑同一律，出现了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致《随机过程》随机游走理论不仅与经验事实不符，而且在逻辑上不能自洽。

一、随机过程定义

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，n次试验结果均可用同一个时间函数x(t)描述。

随机过程没有确定性的变化规律，观察n个随机运动的质点位移，会观察到n个不同的位移变化过程（图1），这n个位移变化过程要用n个不同的时间函数x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)进行描述。

图1 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有可能结果映射到样本空间Ω，然后用二元函数X(ω,t)来描述随机过程试验的所有结果。

随机过程定义：随机过程X(ω,t)是定义在Ω×T上的二元函数。对于固定的ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为x(t)；对于固定的t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，简记为X(t)。

一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们实际观察到的随机现象随时间演变过程，因此样本函数x(t)也被称为随机过程的一个“实现”。

随机变量X(t)描述的是所有样本函数x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)在t时刻的取值，即所有质点在t时刻的空间位置分布情况。

显然，随机变量 X(t)和样本函数 x(t)具有完全不同的物理意义。随机变量X(t)用来描述大量质点在t时刻的空间位置分布情况（统计规律），样本函数x(t)则用来描述一个质点的位移随时间的变化过程。

二、随机游走定义及概念错误分析

若一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机地向左或向右移动单位距离，则称质点运动为一维简单对称随机游走。

定义：设X(1)，X(2)，…，X(n)独立同分布（i.i.d.），P[X(i)=1]= P[X(i) =-1]=1/2，X(0)=0，定义

S(n)= X(1)+ X(2)+……+ X(n)                                 

为从原点出发的一维简单对称随机游走。

S(n)的物理意义为一个质点移动n步后距原点的距离。图2（a）为一个质点的随机游走位移曲线，图2（b）为8个质点的随机游走位移曲线。

图2 随机游走位移曲线

显然，图2（a）所示的随机游走位移曲线只是随机游走过程中的一个样本函数或一条样本轨道，但是随机游走定义却混淆了随机变量与样本函数的区别，将样本函数假设为随机变量。

事实上，随机游走的研究对象是一个质点在第n步时的位移S(n)，对于每一个确定的步数n，都有唯一一个确定的质点位置S(n)与n “一一对应”，因此，随机游走的质点位移S(n)是步数n的函数，根据随机过程定义，S(n)是固定ω时的随机过程S(ω,n)，亦即样本函数。

三、随机游走常返性逻辑悖论

由于随机游走定义违反同一律，隐含了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，因而可从随机游走理论中推导出两个互相矛盾的命题（逻辑悖论）。

由随机游走定义，可直接计算出S(n)的数学期望和方差

E[S(n)]=0 

D[S(n)]=n

表明n≥1时，D[S(n)]≠0。

根据波利亚随机游走定理，一维简单随机游走是常返的，即

P[S(n)=0，i.o.]=1 

表明n≥1时，质点会返回原点，出现S(n)=0的情况，根据《概率论》常数的方差等于零性质，有

D[S(n)]= D[0]=0

即在n≥1时，D[S(n)]= 0发生无穷多次的概率也等于1，与n≥1时，D[S(n)]≠0的结论矛盾。

四、重新定义随机游走

定义：若时间序列S(n)的一阶差分ΔS(n)= S(n)- S(n-1)=X(n)，{X(n)}为均值为零、方差为1的白噪声时间序列，则称S(n)为一维简单对称随机游走随机游走。

事实上，《随机过程》教科书中的随机游走位移曲线就是按这个定义用计算机软件仿真出来的。

五、结论

《随机过程》随机游走定义与随机过程定义完全不符，张冠李戴，将样本函数当作随机变量，出现了 “混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致《随机过程》随机游走理论的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到彻底破坏，在此基础上建立的《随机过程》随机游走理论必然无法正确描述随机游走现象、特征及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的方法、理论及工具。

参考：

随机游走定义的概念错误及纠正（后印本）

数学学习与研究[J]. 2021,(28)