关于“哥德尔的不完全性定理- 2022/5/9 - 5/11

BasicRabbit：

我同意你的观点：ω-coherence的概念很重要。在 (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_om%C3%A9ga-coh%C3%A9rente) 中写道：

« D’un point de vue sémantique, dans la définition ci-dessus le n fait référence à un entier standard, qui renvoie à un entier « ordinaire » (un entier du méta-langage dans lequel on raisonne sur la théorie) ».

一句法国谚语说：“赶走本性，它又跑回来了！”（Chassez le naturel il revient au galop!）， 一个变体：“赶走元语言，它又跑回来了！”

Yu LI：

我想介绍波利亚猜想（Polya Conjecture），这与哥德尔编码有关。

波利亚猜想波利亚猜想是由匈牙利数学家乔治-波利亚（George Pólya，1887 – 1985）在1919年提出：对每个x>1，在不超过x的正整数中，含有奇数个质数因子（不一定是不同的）的整数个数不少于含有偶数个质数因子的整数个数。

比如：

18 = 2^1× 3^2   : 3个质数因子
17 = 17^1 : 1
16 = 2^4 : 4
15 = 3 x 5 : 2
14 = 2 x 7: 2
13 = 13 : 1
12 = 2^2 x 3 : 3
11 = 11 : 1
10 = 2 x 5 : 2
9 = 3^2 : 2
8= 2^3 : 3
7 = 7 : 1
6 = 2 x 3 : 2
5 = 5 : 1
4 = 2^2 : 2
3 = 3 : 1
2 = 2 : 1

含有奇数个质数因子的整数 : 18, 17, 13, 12, 11, 8, 7, 5, 3, 2 : 10

含有偶数个质数因子的整数 : 16, 15, 14, 10  9, 6, 4, 1 : 8

在很长时期里，人们都认为波利亚猜想是正确的，直到1958年，哈兹尔格罗夫（Haselgrove）从理论上证明了存在着无穷多个反例。

1962年莱曼（Lehman）找到了一个具体反例：906 180 359，从而证伪了波利亚猜想。

Référence :

https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_conjecture

BasicRabbit：

如果你对认识论和科学哲学比对技术更感兴趣（我想你是这样的），那么你应该看看集合理论（ZFC），特别是大基数理论（它几乎与不完全性定理直接相关）。

在西方哲学中，著名的苏格拉底的箴言：“认识你自己”。在ZFC中，这种反省是不可能的：ZFC模型不存在严格的基本反省。但通过增加越来越大的基数假设(拉弗的基数目前是最大的(?)，即通过越来越多地完成ZFC，人们越来越接近这种反省。

Patrick Dehornoy是这方面的专家之一： https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLV.pdf（按时间顺序的参考资料和本章的摘要在最后）。

Yu LI：

对应法国的谚语 “赶走本性，它又跑回来了！”中文有一句类似的话：“江山易改，本性难移”。

哥德尔不完全性定理已经存在了很多年，但很难看到哥德尔在生前与人们就他的论文进行直接对话。值得注意的是，策梅洛在1931年发起了与哥德尔的建设性对话，不幸的是，不久哥德尔就结束了，正如维基评论的那样：

– In September 1931, Ernst Zermelo wrote to Gödel to announce what he described as an « essential gap » in Gödel’s argument. In October, Gödel replied with a 10-page letter, where he pointed out that Zermelo mistakenly assumed that the notion of truth in a system is definable in that system (which is not true in general by Tarski’s undefinability theorem). But Zermelo did not relent and published his criticisms in print with « a rather scathing paragraph on his young competitor » (Grattan-Guinness, pp. 513). Gödel decided that to pursue the matter further was pointless, and Carnap agreed (Dawson, p. 77). Much of Zermelo’s subsequent work was related to logics stronger than first-order logic, with which he hoped to show both the consistency and categoricity of mathematical theories.

我认为哥德尔的证明有三个重要的成分：元语言、递归函数和ω-一致性。人们无法回避对这些概念的讨论。

BasicRabbit：

对我来说，在(1)的第300页末尾的评论中，ω一致性介入的方式是很清楚的：

« Dans la démonstration ci-dessus |4.4.4 (et 4.4.5 dans le cas particulier où T=PA1)], la dissymétrie entre ∆ et ¬∆ provient de l’impossibilité de passer directement de T ⊢ Prouvable T ( ‘Φ’ ) à T ⊢ Φ, forçant à utiliser l’hypothèse, a priori plus forte, que T est ω-consistante. En effet, la relation T ⊢ PreuveT(S’Φ’0,Sp0) pour un entier (standard) p implique T ⊢ Φ, mais la relation T ⊢ ∃ y (PreuveT(S’Φ’0,y)), elle, ne garantit pas l’existence d’un tel entier : ».

(对我来说，使用完全性定理可以从语义上看到（一个 "真 "的证明要求 "Φ "是一个标准的整数），在语法上很难看到）。

对我来说，我们在这个证明中看到了语言层次的差异，它允许将一个悖论（说谎者悖论）转化为一个定理（上述解释在第301页的评论结束时完成），解除（在我看来......）PJ的主要异议。

1: https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Books/Ensembles/chapLI.pdf

Yu LI：

@BasicRabbit，你说：

“我以哥德尔想证明可证明性优于真理的观点开篇（这种观点一直到他生命的最后一刻，当他试图证明上帝的存在时，都可以发现） ”

但在Casti & DePauli的书中说：“哥德尔发现的是，即使纯数之间存在真正的关系，演绎逻辑的方法也只是太弱了，我们无法证明所有这样的事实。换句话说，真理只是比证明大”（见Paul 在本博客的文章）

那么，哥德尔究竟说了什么？

在我看来，要知道哥德尔到底说了什么，最好的办法是阅读他的原文。

BasicRabbit：

你说：“在我看来，要知道哥德尔到底说了什么，最好的办法是阅读他的原文”。

要知道哥德尔的“历史”陈述和证明是否正确，是你（和PJ）的问题。严格来说，我感兴趣的是，目前的不完全性定理—其中的假设被大大削弱，证明被大大简化和澄清--是否正确。我倾向于认为，这个问题的答案是肯定的，可证明性和真之间的区别，以及语言和元语言之间的区别，现在在形式逻辑中已经得到很好的理解。

Yu Li：

我发现，« Chassez le naturel il revient au galop!  »，这句格言完美地表达了一种精神：我们不应该试图改变别人的想法。

因此，当我们交流时（exchange），不是要改变对方的想法（change），而是要意识到自己没有看到的东西，并相互补充。

到目前为止，我们已经有了如此丰富的对话！