设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，根据布朗运动定律，可直接写出布朗粒子的运动学方程

式中n(t)为定义在[-∞，+∞]上的零均值不相关白噪声。

在信号分析与处理领域，“系统”是指能对各种“输入信号”按一定规则进行加工、运算和变换，并产生相应“输出信号”的装置或算法。

从工程技术角度看，布朗运动位移x(t)就是白噪声n(t)激励图1所示系统时所产生的输出响应。

图1 布朗运动系统模型

布朗运动系统模型由开关和积分器两个元件串联而成，由于开关为非线性元件，其闭合过程随时间t而变化，因此布朗运动系统模型为非线性时变系统。

开关的作用是将定义在[-∞，+∞]上的白噪声输入信号从 [0，t] 区间上截断，积分器对白噪声截断信号进行积分运算并产生输出。

由于白噪声n(t)的功率谱密度为常数，因此n(t)通过图1所示的系统后，系统输出x(t)的频域特性就完全取决于系统传递函数特性，因此，可把布朗运动位移x(t)随机特性的研究转变为对确定性系统特性的研究。

开关将定义在[-∞，+∞]上的白噪声截断后，会因“频谱泄露”效应而产生直流分量。直流分量通过积分器后转换为斜坡信号，在布朗运动位移x(t)中产生线性趋势项。

积分器具有低通滤波特性，白噪声截断信号中的低频分量被放大，高频分量被衰减，使能量均匀分布的白噪声变换为能量集中在低频段的红噪声（布朗噪声或1/f ²噪声）。

另外，积分器具有记忆性，系统当前时刻的输出不仅与当前时刻的输入有关，而且与之前所有时刻的输入有关，表明布朗运动位移x(t)具有很强的“记忆性”和“相关性”。