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数系的发展:四元数、Clifford代数和超复数

已有 9261 次阅读 2021-12-29 18:04 |系统分类:观点评述

     数系的完善和扩展经历了一个漫长而艰难的历史过程,并不像现在看上去的那么简单,概念的发展和完善充满了传奇。公元前500年,毕达哥拉斯(Pythagoras)学派发现了宇宙中最基本的规律——勾股定理。激动之余把这个结论推广为万物皆数的普遍信念,认为宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数之比,就像琴弦的振动。但高兴没多久,学派成员希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,正方形的对角线长与边长是不可公度的。这让该学派感到惶恐,认为这将动摇他们的基本信念和在学术界的统治地位。于是极力封锁该发现的消息,并把希伯索斯扔到海里去了。

       负数的引进也是困难重重。15世纪卡丹(Cardan)和韦达(Vieta)等人都认为这是个荒谬的数。帕斯卡(Pascal)声称,0减去4纯属胡说。笛卡尔(R. Descartes)是个哲学家,思想比较开明,他认为负数作为方程的根应该是个假根。到了17世纪,瓦雷斯(Wallis)虽然接受了负数概念,但他觉得负数应该是比无穷大还大的数。实数理论的完善经历了漫长的岁月。在毕达哥拉斯之后,欧多克索斯(Eudoxus,约公元前400-347)建立了不可通约理论。但直至19世纪,戴德金(R. Dedekind)、康托尔(G. Cantor)和外尔斯特拉斯(K. Weierstrass)等人完成了严密的无理数理论之后,实数理论才真正地建立起来了。

        16世纪上半叶,为了用公式表达3次和4次方程的根,必须引进一种新的数,即负数的平方根。由于这种数没有直观的解释,被当时的数学家称为想象的数,并沿用至今,翻译成中文就是虚数。刚开始很多数学家对虚数抱着排斥的态度。直到18世纪下半叶,高斯(K. F. Gauss)找到了复数的几何表示,即用复数表示平面上的点,虚数得到了具体的几何解释并在实际问题中得到广泛的应用,这种新数系才被人们承认并巩固下来。从代数学的角度看,有理数系、实数系和复数系都是对加减乘除运算封闭和没有零因子的数域,并且运算满足结合律、分配律和交换律。

        到了19世纪,人们对于数系和代数运算已经有了清晰的认识,并且研究了符号运算的合法性。1833Peacock发表的报告中,明确了符号代数的某些永恒性原理,这为后来的抽象代数,尤其是布尔代数的发展,铺平了道路。人们的思想由保守变得活跃起来,如何把复数在平面上的优越性推广到3维空间,当时是摆在人们面前的难题,很多著名的数学家都在寻找“3元数 爱尔兰数学家哈密尔顿(W. R. Hamilton, 1805-1865)由于物理学的实际需要,也加入了寻找3元数的行列。哈密尔顿少年时是个神童,13岁时就能流利地讲13种外语。他喜爱古典文学并沉醉于诗歌创作。15岁时一个偶然的机会让哈密尔顿对数学着了迷,并从此终生不渝。今天在数学、物理和天文学等学科中,我们都能看到他的名字。就这样一个神童,为了3元数也断断续续地奋斗了15年,总是在如何定义其乘法的问题上纠结不清。在18431016日黄昏,哈密尔顿突然灵光闪现,意识到必须放弃新数系中的乘法交换律,并且需要引进4个实数的有序数组,于是四元数终于诞生了。

        有了实数、复数、四元数之后,一个很自然的想法就是在尽可能少地放弃代数性质的前提下,对数系进行类似的拓展。但1878年,由德国数学家费罗贝尼乌斯(F. G. Forbenius)证明的重要定理,给出了负面的结论。定理表明,( R, C, H)R上仅有的没有零因子的有限维可除结合代数。后来推广的费罗贝尼乌斯定理指出,如果再放弃乘法结合律,没有零因子的可除代数就只剩下8元数或凯莱(A. Cayley)数了。

       在我看来,放弃结合律的数系基本上没有实用价值了,因为写出来的一串相乘的数,结果都是不明确的。比较而言,存在零因子则是一个可以修复的缺陷。由克利福德代数组成的超复数,其零模集是具有特殊几何意义的一个闭集,就像现实时空中的光锥,就是因果关联性的分界线。如果现实4维时空没有双曲性,而是和四元数一样没有零因子的椭圆世界,则这个世界将是没有生机的。正是因为这个双曲性的存在,使得现实时空具有了活的灵魂和丰富的结构。从这个角度来看,零模集的存在不能看成超复数的缺陷,因为这对代数运算并没有实质性影响。相反,零模集反映了时空的内在性质,可能是个尚未发现的桃花源,是值得深入研究课题[1]

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      克利福德(W. K. Clifford)代数是一种植根于几何学之上的代数系统。以格拉斯曼(H. G. Grassmann)外积基元素表示的克利福德数准确、忠实地刻画了时空的内在性质,可以实现标架间的方便变换,从而简洁、唯一地表达几何量和物理量。克利福德代数只依赖于很少几个简单的数学概念,如数域、向量等,为众多复杂的数学和物理理论提供了统一、标准、优雅和开放的语言和工具。克利福德代数运算是一种类似于算术的运算,每个人都能很好地理解。这一特点对教学目的非常有用,在高中和大学推广克利福德代数,将会大大提高学生学习数学和物理基础知识的效率[2]

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      克利福德代数以统一的方式描述复数和四元数,并且可以直接地推广到2^n元结合代数——超复数。在这个推广中,上面的标准正交基矩阵(2)和由其构造的格拉斯曼基元素集合(3)起了关键作用。矩阵表示带有抽象定义所没法表达的信息,例如行列式和逆元的定义。没有(2)这个矩阵表示,关于超复数的讨论将很难展开。由于克利福德代数与矩阵代数的同构关系,可以把复杂的运算和推理变为机械化操作——简单、直观和免错,中学生都能很好掌握。因此只要初始对应没有问题,后面由矩阵代数得到的任何结论也必然是正确的。这样,微妙易错的抽象概念和问题就具体化了,数与型得到了统一描述。用克利福德代数表述方程时,形式简洁、结构对称、推导规范、内容完整,看上去让人赏心悦目。对细节感兴趣读者可参阅[1,2]

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[1] 四元数、超复数与Clifford代数及其在物理学中的应用

[2] 几何代数与统一场论








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