前文 “充液系统动力学 (一)” 中，已基于分析力学原理建立了刚体-液体耦合系统的动力学方程。本文从最简单的情况开始，叙述腔体内全充满无旋理想流体情形的离散化方法，即所谓茹可夫斯基的等效刚体理论（图 1）。

图1  茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E., 1847-1921)

1.       无旋的理想流体

设刚体以角速度 ω 绕固定点 O 转动 (图 2)，空腔 V 内充满理想无旋流体。以 O 为原点，建立刚体的连体坐标系 (O-x₁x₂x₃)，以 e_j  (j = 1, 2, 3) 为基矢量。流场 V 内任意点 P 的位置由坐标 x_j  (j = 1,2,3)确定。P 点处的质点相对刚体的流速 u 为坐标 x_j (j = 1, 2, 3)和时间 t 的连续函数。设刚体的瞬时角速度为 ω，P 点相对 O 点的矢径为 r，则 P 点处质点的绝对速度 v 为

                                                                                                                                     (1)

图2  带全充液腔的刚体

对于不可压缩的流体，前文中已列出流速 u 的连续性条件。对式(1)验算可以证实，此约束条件也同样适用于 v：

                                                                                                (2)

定义以下矢量为流场的旋度，记作 rot v：

                                      (3)

将式 (1) 代入后，可证实 rot v = rot u。旋度为零的流体称为无旋流体，满足以下条件：

                                                      (4)

如存在函数 ϕ，满足  

                                                                            (5)

则条件 (4) 自行满足。ϕ 称为无旋流体的速度势函数。将式 (5) 代入连续性条件 (2)，证明势函数 ϕ 满足拉普拉斯方程，是一个调和函数 :

                                                                             (6)

利用哈密顿算子符号 ▽：

                                                                                                    (7)

可将流场的旋度 rot v 表示为

                                                                                                 (8)

根据斯托克斯 (Stokes,G.G.) 定理，流场中沿任意封闭回路 L 的速度环量 Γ 可用旋度的面积积分表示为

                                                               (9)

其中 S 为封闭路径 L 包围的曲面，n 为曲面的法向基矢量，Ω 定义为

                                                                                                                                       (10)

Ω 称为流体团的涡量，方向与旋度相同，模为旋度的一半。不存在黏性摩擦力的流体称为理想流体。若同时满足无旋条件 (4) 或 (5)，则为无旋的理想流体。

2.       儒科夫斯基势函数

   对上述腔内全充无旋理想流体情形，在液体与腔壁的界面 Σ 处，由于液体不可能向刚体内部渗透，也不可能脱离腔壁，其法向流速为零。设 n 为腔壁 Σ 的法向基矢量，此条件表示为

                                          (11)

代入式 (1)，导出 v 的边界条件：

                                                                                            (12)

由于无旋流体存在势函数 ϕ，此条件化作

                                                                                                                       (13)

定义矢量函数 ψ，使满足

                                                                                                                                                                (14)

代入方程 (6)，得到

                                                                                                                                                                    (15)

势函数 ϕ 在 Σ 界面处的条件 (13) 转化为函数 ψ 的边界条件：

                                                                                                                               (16)

ψ  称为茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E.) 势函数。或斯托克斯-茹可夫斯基势函数，ψ  沿 (O-x₁x₂x₃) 各坐标轴的投影 ψ_j (j = 1, 2, 3) 均为由诺伊曼 (Neumann,C.G.)边值问题确定的调和函数。条件 (16) 与刚体的角速度 ω 无关，势函数 ψ 仅由腔体的几何形状确定，与刚体的运动解耦。

3.      等效刚体

  将刚体和腔内液体对 O 点的动量矩分别记作 L⁽¹⁾  和 L⁽²⁾。利用式 (5) 将 L⁽²⁾ 中的流体速度 v 用势函数 ϕ 表示，计算腔内流体的动量矩，得到

                           (17)

其中 ρ 为流体的密度。L⁽²⁾ 沿 x₁ 轴的投影 L₁⁽²⁾ 为

                   (18)

设 n_j (j = 1, 2, 3)为腔壁法向基矢量 n 对 (O-x₁x₂x₃) 各轴的方向余弦，利用高斯 (Gauss,C.F.) 定理将上式中在 V 域内的的体积分化作沿腔壁 Σ 的曲面积分：

                                                                                                            (19)

与此类似，L⁽²⁾ 沿x_2，x₃ 轴的投影 L₂⁽²⁾, L₃⁽²⁾ 为

                                                                                                          (20)

根据以上导出的 L_j⁽²⁾ (j=1,2,3)和式(14),( 16)，将动量矩 L⁽²⁾ 化作

                           (21)

其中括弧内的并矢与刚体的惯性张量类似，用 J* 表示为

                                                                                                                                        (22)

则液体的动量矩等于张量 J* 与角速度矢量 ω 的点积，与刚体的动量矩计算公式相同。可将 J* 称为液体的等效刚体惯性张量，由儒科夫斯基势函数 ψ 完全确定。J* 在 (O-x₁x₂x₃) 中的坐标 J_ij* 即等效刚体的惯性矩和惯性积，用方括号作为沿 Σ 曲面积分式的简化符号，写作

                                                                      (23)

则张量 J* 在(O-x₁x₂x₃)  中的坐标矩阵为

                                                                                      (24)

因此若腔内液体作无旋流动，涡量 Ω = 0，在此条件下可将液体的运动用等效刚体代替，与主刚体合并为同一个刚体。设主刚体对 O 点的惯性张量为 J⁽¹⁾，则充液刚体对 O 点的总动量矩为惯性张量 J* 与角速度矢量 ω 的点积。J_* 为主刚体的惯性张量 J⁽¹⁾ 与液体的等效刚体的之和：

                                                                                                                           (25)

充液刚体的动能 T  亦可利用普通刚体的动能公式表达为 

                                                                                                                                   (26)

从而使连续介质的运动离散化为刚体的运动。

如上所述，等效刚体惯性张量 J* 的构成归结为诺伊曼边值问题的计算。一般情况下，对于充液腔的任意几何形状，总能用数值方法（例如 Ritz 法）求出结果。对于几何形状规则的充液腔体，也能寻求解析形式解。下篇博文将以椭球腔为例做具体计算。除椭球腔以外，文献里还可找出轴对称形腔、柱形腔、带隔板的圆柱形腔等各种规则形状等效刚体的解析解。

儒科夫斯基等效刚体的离散化方法非常简洁和优美。但应用范围十分局限，仅限于粘性极小且无转动的流体。边界层理论的出现使其应用范围得到扩大。边界层理论将流体的粘性影响局限于与腔壁接触的薄边界层以内。边界层以外的流体空间仍可近似视为理想流体，以等效刚体代替。有关的分析亦在另文中叙述。

     （改写自：王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第2章. 北京：科学出版社，2002

       刘延柱.  陀螺力学(第二版)，第10章. 北京：科学出版社，2009）