1.       机电耦合系统：

随着科学技术的发展，在生活中或工程中，机械运动和电磁现象相互耦合的情况普遍存在。以最常见的扬声器为例，电流的输入改变了线圈的电感，产生磁力使膜片振动，膜片的位移通过电流变化对线圈施加负反馈以防止啸叫。位移和电磁在扬声器的运动过程里相互耦合。在电机、电讯、仪表、自动控制等部门里，由机械元件和电磁元件组成的系统更为普遍。对这种机电系统的数学建模需要应用力学和电磁学的综合知识。

1788 年，法国数学家拉格朗日（Lagrange,J.L）建立的拉格朗日方程奠定了分析力学基础（图 1）。拉格朗日方程的一般形式为

                                                           (1)

其中 q_j  (j = 1,2,···, f) 为广义坐标，T 和 V 为机械系统的动能和势能，Ψ_q 为瑞利耗散函数，Q_j 为广义力。

图1  拉格朗日（Lagrange,J.L, 1736-1813）

百年后苏格兰物理学家麦克斯韦 (Maxwell,J.C.) 于 1865 年发表了描述电磁运动普遍规律的麦克斯韦(Maxwell,J.C.) 方程，奠定了电磁学的理论基础（图 2）。机电系统动力学的数学模型由这两类方程耦合构成。拉格朗日方程是理工科大学理论力学课程的主要内容之一，其推导过程已在课程中阐明。以下仅对麦克斯韦方程做简要说明。

图2  麦克斯韦(Maxwell,J.C., 1831-1879)

2.       麦克斯韦方程

       设机电系统由 f 个自由度的机械元件和包含 n 个电路的电磁元件组成。f 个机械自由度以广义坐标 q_j (j = 1,2,…,f)  表示。n 个电路由电容器 C_k，电感线圈 L_k，电阻 R_k 和输入电压  u_k (k = 1,2,···, n) 组成 (图 3)。将电容器电荷和电流记作 e_k, i_k  (k = 1,2,···, n)，设 u_k^L 为电感线圈的感应电动势，u_k^R, u_k^C  (k = 1,2,···, n) 分别为电阻和电容的电压降。利用基尔霍夫定律 (Kirchhoff,G.R.) 列出每个电路的电压变化

                                                                                                                             (2)

其中电阻的电压降 u_k^R 满足欧姆定律，可利用电磁耗散函数 Ψ_e 对电流的导数表示为

                                                                                     (3)

电感的电动势 u_k^L 等于磁通量 Φ_k  的变化率：

                                                                                                                                               (4)

              图3  电磁元件

磁通量 Φ_k 可用磁场能量 E_m 对电流的导数表示为

                                                                                 (5)

其中 L_kk 为第 k 回路的自感系数，L_kr 为第 k 回路与第 r 回路之间的互感系数，均与元件的位移有关，为广义坐标 q_j (j = 1,2,…,f) 的函数：

                                                                                 (6)

将式 (5) 代入式 (4)，得到

                                                                                               (7)

电容 C_k 的电压降 u_k^C 等于静电场能量 E_e 对电荷 e_k 的导数：

                                                                                                      (8)

电容 C_k 与元件的位移有关，是广义坐标  q_j (j = 1,2,…,f) 的函数：

                                                                                         (9)

将式(3),(7),(8)代入式(2)，得到电路方程：

                                                           (10)

其中 u_k 为输入电压。

     3.     电磁场的广义力

  根据能量守恒定律，输入系统的电功率转换为电磁场能量的变化率、电阻耗散功率、以及电磁作用力完成的机械功率。依据电磁系统中的功率平衡，得到

                                                                     (11)

其中 Q_j^* (j = 1,2,…,f) 为电磁场产生的广义力。磁场能量 E_m 不仅取决于电流变化，而且与机械运动有关。其变化率为

               (12)

上式右边第一项中的求和式可利用欧拉齐次函数定理化简

                                                                                                                                       (13)

利用上式将式 (12) 化作

                                                                                                 (14)

静电场能量 E_e 不仅取决于电荷变化，也与机械运动有关。其变化率为

                                                                                                               (15)

将式 (14), (15) 代入式 (11)，以电荷对时间的导数表示电流，令，得到

                                     (16)
其中的方括号将式 (11) 代入后应等于零，因为独立变量，导出电磁场的广义力：

                                                                                                   (17)

4.       拉格朗日－麦克思韦方程

考虑电磁元件对机械系统的影响，拉格朗日方程 (1) 中应增加电磁场的广义力 Q_j^*

           (18)

将包含机械能量、静电场能量和磁场能量在内的广义拉格朗日函数定义为

            (19)

将机械耗散函数 Ψ_q 与电磁耗散函数 Ψ_e 组成总耗散函数 Ψ：

                                                                                                              (20)

则考虑电磁场因素的拉格朗日方程 (18) 修改为

                                                               (21)

也可用广义拉格朗日函数表示方程 (10)，称为麦克斯韦方程：

                                                                            (22)

方程 (21) 和 (22) 组成具有完美对称性的拉格朗日－麦克斯韦方程。此方程组以耦合的广义坐标 q_j (j = 1,2,…,f) 与电荷 e_k 或电流 i_k (k = 1,2,···, n)为未知变量，确定机电耦合系统的机械运动以及电荷或电流的变化规律。

      5.  计算实例：磁悬浮车厢

           图4   磁悬浮车厢

      磁悬浮车厢利用电磁铁的电磁吸力悬浮在 T 形导轨上，电磁铁回路由电感 L 和电阻 R 组成，输入电压为 u。近似认为磁铁与导轨下缘之间气隙内的磁感应强度 B 均匀分布，则磁通量为 Φ = BSN，S 为气隙面积，N 为车厢的磁铁数。设平衡时的间隙为 h，质心 O_c  相对平衡位置 O 点向上的垂直位移为 y。车厢的质量为 m，空气阻力系数为 c，系统的动能和势能分别为

                                                                                   (23)

均匀磁场内的能量 E_m 与磁感应强度的平方成正比，与气隙体积成正比。

                                                                                                                         (24)

其中 μ₀ 为空气的导磁系数，h - y 为实际间隙。将磁通 Φ = BSN 代入式 (5)，导出磁感应强度 B，再代入式 (24) 计算 E_m，得到

                                                                                               (25)

根据式 (5)，也可将磁场能量表示为 E_m = Li²/2。令其与式 (25) 中的 E_m 相等，解出电感 L，与间隙成反比

                                                                                                                                          (26)

代回式 (25)，导出磁场能量 E_m

                                                                                                                                                          (27)

写出拉格朗日函数和耗散函数：

                                               (28)

代入拉格朗日－麦克斯韦方程(21),(22)，以 L₀ = μ₀SN²/2h 表示车厢无垂直位移 (y = 0) 时的电感值，得到磁悬浮车厢的动力学方程：

                                                                            (29)

                       （改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版)，第2章. 北京：高等教育出版社，2016）