1.       刚体姿态的多种数学表达：

刚体姿态有多种数学表达方法，在此基础上建立起来的刚体运动学和动力学成为经典力学的重要组成部分。各种数学表达方法多出自 18 和 19 世纪的数学力学大师，是对抽象数学概念赋予具体力学内涵的典范^[1,2]。在科学技术飞速发展的今天，这些经典数学工具仍在航天器姿态控制、空间机构、惯性技术和机器人技术中被广泛应用^[3]。前几篇博文中已叙述了欧拉角、欧拉参数、四元数等数学表达方法的产生和内在联系。本文叙述的是另一种不同表达方法，即法国数学家 Serret,J.A. (1866) 和 Andoyer,H (1823) 提出的所谓 Serret-Andoyer 变量。以下简称 S-A 变量。

欧拉角是以刚体相对惯性坐标系转过的角度作为表达刚体姿态的参数。欧拉参数和四元数等均为欧拉角基础上的发展。S-A 变量的特点是在刚体与惯性坐标系之间，再建立一个以动量矩矢量 G 为坐标轴构成的 “动量矩坐标系” 。对于无力矩状态，即动量矩守恒的特殊情形，“动量矩坐标系” 与惯性坐标系无区别。若有扰动力存在，使动量矩 G 的模和指向相对惯性坐标系均发生变化，则 “动量矩坐标系” 偏离惯性坐标系。刚体的姿态视为刚体相对 “动量矩坐标系” 的姿态，与 “动量矩坐标系” 相对惯性坐标系的姿态的叠加。乍一看来这种表达方法使得刚体姿态的表达复杂化。但对于无力矩或有微弱力矩作用的情形，这种表达方法具有独特优点。比利时学者 Deprit,A. 曾利用S-A变量将无力矩的 Euler-Poinsot 刚体定点运动简化为单自由度保守系统。对受微弱干扰力作用的旋转或不旋转的刚体运动，S-A 变量可使分析过程明显简化。

图1  动量矩坐标系与惯性坐标系

2.       Serret-Andoyer 变量的定义：

讨论刚体绕定点 O  的运动。以 O 为原点，建立惯性坐标系 (O-ξηζ)。以动量矩矢量 G 为 OZ 轴，建立动量矩坐标系 (O-XYZ)。其中 OX 轴沿 ξOη 坐标面与 OZ 轴的垂直面的交线。以球坐标 h, δ 确定 G  矢量相对 (O-ξηζ) 的位置（图1）。刚体的主轴坐标系 (O-xyz) 相对 (O-XYZ) 以欧拉角 g, l, σ 确定其姿态（图 2）。刚体相对 (O-ξηζ) 的姿态要用 5 个角度坐标 h, δ, g,l,σ 确定。刚体的运动是相对 (O-XYZ) 的运动与 (O-XYZ) 相对  (O-ξηζ) 运动的复合运动。导出其绝对角速度 ω 在 (O-xyz) 中的投影 ω_i (i = 1, 2, 3)：

           (1)

图2   刚体主轴坐标系与动量矩坐标系

设刚体相对 (O-xyz) 的主惯性矩为 A, B, C，则刚体对 O 点的动量矩 G 在 (O-xyz) 中的分量 G_i (i = 1,2,3)为

                                                                                                              (2)
列写刚体的 Lagrange 函数:

                                                                                           (3)

其中 V 为势能。将式 (1) 代入式 (2)，整理为两个独立的非完整约束条件：

                                                                     (4)

因此描述刚体运动的 5 个参数  h, δ, g, l, σ  中只有 3 个是独立的。选择 l, g, h 为独立变量，计算其对应的广义冲量  p_l, p_g, p_h，并利用式 (1), (2) 化简，得到

                                                                                   (5)

其中 p_g 为动量矩 G 的模，p_l  和  p_h  为动量矩矢量 G 在 Oz 和 Oζ 轴上的投影 L 和 H。将 l, g, h 和 L, G, H  作为描述刚体定点运动的 6 个变量，称为正则变量，或 Serret-Andoyer 变量。刚体的运动过程可在 (l, g, h, L, G, H) 6 维相空间内描述。利用式 (2),(3) 列写刚体的 Hamilton 函数，其中的 Gsinσ 以 (G²-L²)^1/2 代替。得到

                                                                            (6)

若无力矩作用，令其中 V = 0。

3.      无力矩状态的刚体定点运动：

  无力矩状态下的刚体定点运动是依靠惯性维持的运动。经典力学的传统方法是以 1750 年欧拉建立的欧拉方程为数学模型。在无力矩情况下，1849 年雅可比 (Jacobi,C.G.J.) 对欧拉方程解出用椭圆函数表示的解析解。1834 年潘索 (Poinsot,L) 利用惯量椭球在固定平面上的滚旋运动对刚体的运动作出直观的几何解释。这种特殊的刚体定点运动通常称为 Euler-Poinsot 运动。上述正则变量为刚体的 Euler-Poinsot 运动建立了一个不同于欧拉方程的新数学模型。

  无力矩状态下势能为零，令 V = 0，由于 g, h 不显含于函数而成为循环坐标。对应的循环积分要求 G, H 皆为常值，即动量矩守恒。式 (6) 简化为以 l, L 为变量的 Hamilton 函数。计算对 l 和 L 的导数，得到

                                (7)

其中的物理意义为刚体绕 Oz 轴的自旋角速度。将式 (7) 中两个方程相除，消去时间变量，化作单自由度自治系统：

                                                                                             (8)

从而有可能在 (l, L) 相平面内进行定性分析，所确定的相轨迹如图 3 所示。在 l 的 (0, π) 区间内存在奇点  S_i  (i = 1,2):

                                                                                                (9)

L = 0 要求 σ = π/2，S₁ 或 S₂ 表示刚体绕 Oy 轴或 Ox 轴的永久转动。不失一般性，设 A > B > C，或 A < B < C，利用方程 (8) 的一次近似式判断，S₁ 为鞍点，S₂  为中心。从而证明：绕最大或最小的惯性矩主轴的永久转动稳定，绕中间惯性矩主轴的永久转动不稳定。此周知的结论在此处利用奇点性质又一次得到证明。

图3  (I, L)相平面内的相轨迹

若刚体为轴对称，令 A = B, 式 (6) 中的 Hamilton 函数简化为

                                                                                                             (10)

由于函数不显含 l，存在对应的循环积分要求 L 守恒，即要求 σ 守恒。对应于刚体的章动角为常值的自由规则进动。

4.      在航天器姿态动力学和陀螺力学中的应用：

由于 Serret-Andoyer 变量表达无力矩刚体定点运动形式特别简明的优点，适合于表达接近无力矩状态的航天器或陀螺仪的姿态运动。考虑实际存在的地磁场等环境力矩和轨道偏心率等因素的影响，可将上述各种扰动因素视为对 Euler-Poinsot 运动的摄动。将受扰运动的 Hamilton 函数写作

                                                                                                                                        (11)

其中为 Euler-Poinsot 运动的 Hamilton 函数， 为扰动引起的附加项，ε 为摄动因素。由于航天器的三维姿态运动被简化为单自由度系统，易于分析扰动因素影响下的姿态运动。尤其在姿态运动混沌性态的研究中，便于有效地运用 Melnikov 解析方法进行判断^[4]。

  在陀螺仪和自旋卫星的动力学分析中，与高速旋转转子的大动量矩相比，扰动力矩的影响相对微弱。动量矩矢量在惯性空间中的转动极其缓慢。因此 h, δ 与 g, l, σ 与是变化速度相差悬殊的两组参数。在计算慢变量 h, δ 以分析陀螺的漂移规律时，仅需考虑快变量 g, l, σ 变化的平均效果。相反，在分析快变量 g, l, σ 以确定陀螺的章动规律时，可近似将慢变量 h, δ  视为常值。从而使理论分析工作更为有效。

参考文献：

1  Serret,J.A.， Mémoroiré sur l’emploi de la méthode de la variation des ambitraires dans la théorie de movement de rotation. Mémoirés de l’académie des sience de Paris, 1866, 35: 585-616

2  Andoyer,H. Cours de Méchanique céleste. Paris: Gauthier-Villars, 1923

3  Deprit A, Elipe A. Complete reduction of the Euler-Poinsot problem. J. Astron. Sciences, 1993, 41(4): 603~628

4  Peng J H, Liu YZ. Chaotic attitude motion of a satellite on a Keplerian elliptic orbit. Technische Mechanik, 2000, 20(4) : 311-318

     （改写自：刘延柱. Serret-Andoyer变量描述的刚体定点运动.力学与实践, 2007,29(5):61-62）