1         什么是旋量？

前篇关于对偶四元数的博文里叙述了普吕克矢量概念。设矢量 a 可沿作用线滑移，r 为自参考点 O 引向 a 作用线上任意点的矢径，aꞌ  =  r×a 为矢量 a 对参考点 O 的矢量矩。普吕克矢量是由 a 与 aꞌ 构成的矢量偶对，用于确定矢量 a 在三维空间内的位置（图 1）。

       图1   Plücker矢量偶

设 O₁ 和 O₂ 是两个不同的参考点，矢量 a 与参考点无关，但对不同参考点有不同的矢量矩  aꞌ 。以上标 (1), (2) 表示参考点的标号。令  aꞌ ⁽ⁱ⁾  =  r_i×a⁽ⁱ⁾  (i=1,2)，从 O₂ 至 O₁ 引矢径 r = r₂- r₁（图 2）。可直接导出 Plücker 矢量对不同参考点的变换公式：

                                                                                                 (1)

         图2   不同参考点的Plücker矢量偶

力学中有一些相互关联的物理量与 Plücker 矢量类似，例如：

     静力学：  力系对任意点 O 简化的主矢 F 与主矩 M；

                运动学：  刚体的瞬时角速度 ω 与刚体内任意点 O 的速度 v；

                动力学：  质点系的动量 Q 与对任意点 O 的动量矩 L。

这些成对的矢量都涉及某个参考点 O 。其中力 F, 角速度 ω, 动量 Q 等矢量与参考点 O 无关，可沿作用线滑移不改变矢量的性质，称为滑移矢量。而力矩 M , 速度 v, 动量矩 L 等矢量均与参考点 O 的位置密切相关，称为定位矢量。解决力学问题的过程中，常需要计算对不同参考点的定位矢量。例如计算力系对不同点简化的主矩，计算刚体内不同点的速度，计算质点系对不同点的动量矩等。这些成对的矢量虽然物理意义不同，但共同特点是对于不同的参考点有与式 (1) 相同的变换公式：

                                                                                            (2)

 1876 年爱尔兰天文学和数学家巴尔 (Ball,R.S.) ^[1](图 3）将具有上述变换性质的矢量偶称为螺旋量，或简称为旋量(screw)，定义为

定义：凡遵循公式 (1) 进行变换的滑移矢量  a  和定位矢量  aꞌ  的集合 (a, aꞌ) 称为旋量，记作  a 。

按照此定义，力系的主矢 F 与对任意点 O 的主矩 M 组成力旋量，刚体的瞬时角速度 ω 与任意点 O 的速度 v 组成速度旋量，质点系的动量 Q 与对任意点 O 的动量矩 L 组成动量旋量。

 图3    巴尔（Ball,R.S. 1840–1913）

旋量的概念早在 19 世纪初即已形成。1809 年法国物理学家潘索 (Poinsot,L.) 指出，作用于刚体上的任何力系均等效于沿某根轴的力与共线的力偶矩之和，称为力螺旋。1830 年另一位物理学家沙勒 (Chasles,M.) 证明，刚体在空间中的任何位移均能通过绕某根轴的角位移和共线的线位移实现，称为刚体的螺旋运动。1924 年德国力学家冯米塞斯 (von Mises,L.) 将 moment 的字头与 vector 的字尾拼成一个新词  “motor”  专用于这类旋量。

2.      旋量的对偶数表达：

前篇博文里已说明了 1873 年克利弗德 (Clifford,W.K.) 创造的对偶数  (dual number)  ^[2] (图 4)。对偶数与复数概念类似，是由实数单位1和对偶单位ɛ组成的包含两个实元的一对有序组合。ɛ 称为 Clifford 算符，规定其特殊运算规则为

                                   (3)

图4    克利弗德（Clifford,W.K. 1845–1879）

用带顶标 ˄ 的字符表示对偶数，以对偶数 a 和为例，令

                                                               (4)

在 Clifford 算符的基本规则 (3) 的基础上，导出对偶数的加法和乘法运算规则：

                                                  (5)

将对偶数中的实数集合改为矢量集合，称为对偶矢量 (dual vector)。其运算规则与对偶数相同，加法与乘法遵循矢量的加法和点积叉积规则。1895 年俄国力学家科特尼科夫 (Kotelnikov,A.P.) 首先将对偶数应用于旋量的表达和变换。利用 Clifford 算符将旋量 表达为

                                                                                                        (6)

其中矢量  a 与参考点无关，已将角标略去。定义以下对偶矢量为变换旋量：

                                                                                                                                 (7)

则公式 (1) 定义的对不同参考点的旋量变换公式可借助变换旋量完成：

                                (8)

上述力旋量，速度旋量和动量旋量均可利用 Clifford 算符表示为

                                                                                         (9)

刚体动力学的基本方程由动量定理和相对刚体内任意点 O 的动量矩定理（相对动点 O 的动量矩定理）组成：

                                                                                                     (10)

其中波浪号表示以刚体为参考系的局部导数。利用式 (9) 定义的旋量，遵循 Clifford 算符的运算规则，仅用一个微分方程就能将刚体运动的全部动力学方程包罗在内：

                                                                                                                             (11)

此旋量微分方程将 2 个矢量方程或 6 个标量方程集为一体，是形式最简洁的刚体动力学方程，对力学规律的描述具有高度的概括性。

   从解决工程实际问题的角度出发，旋量概念的出现可对不同参考点同时计算矢量和矢量矩的变化规律。因此在刚体动力学、弹性力学和流体力学中具有广泛的应用可能性。尤其在空间机构和机器人技术领域中，旋量已成为描述多体系统动力学的数学工具之一^[3,4]。

由于 Clifford 算符的特殊算法规则鲜有人知，且具体的工程计算必须利用矢量对参考坐标系的标量投影进行。旋量的对偶数表达方法在确定矢量之间的关系时，未能涉及与投影相关的参考坐标系的变换，难以直接进行工程计算。因此旋量的另一种表达方法，即利用投影矩阵的表达方法更具有实际意义。 

3       旋量的矩阵表达：

   旋量的矩阵表达建立在矢量的矩阵表达基础上。关于矢量矩阵表达的基础知识在附录中列出。与基于Clifford 算符的对偶数表达相比较，矩阵运算规则更具普遍性也更容易被接受和应用。

    设 (O_i - x_iy_iz_i) (i = 1,2) 是以 O_i 为原点的参考坐标系，或称作以 O_i 为基点的基，记作 (O_i, e⁽ⁱ⁾)。矢量 a 和 aꞌ 在 (O_i, e⁽ⁱ⁾) 中的坐标阵仍以相同的黑体字符 a 和 aꞌ 表示，仅增加上角标 (i) 表示参考坐标系的标号。记作 

            (12)

a⁽ⁱ⁾  和  aꞌ⁽ⁱ⁾  组成旋量 a 的投影矩阵，表示为

                                                                                                (13)

设不同的基 (O₁, e⁽¹⁾) 与 (O₂, e⁽²⁾) 的基矢量之间的方向余弦矩阵为 A⁽²¹⁾，可用于矢量的坐标变换：

                                                                                                       (14)

将不同的基点 O₂ 至 O₁ 的矢径记作 r，列写 r 在 (O₁, e⁽¹⁾) 中的反对称投影方阵：

                                                                                                        (15)

此反对称矩阵可用于表达矢量 r 的叉积运算。利用式 (14), (15)，旋量变换公式 (2) 可使用矩阵运算完成：

                                                                                   (16)

定义以下 6 维方阵为旋量变换矩阵：

                                                                                                        (17)

则旋量的矩阵形式变换公式为

                                                                                                                                  (18)

利用此变换公式可同时完成不同参考点和不同参考坐标系的旋量之间的变换。

4       旋量应用实例：

讨论由 B_i  (i = 1,2,3) 组成的三刚体空间机构。各连体基 (O_i, e⁽ⁱ⁾) (i = 0,1,2,3) 如图 5 所示，其中 B₀ 为定参考系。设 B₁ 沿 e₃⁽⁰⁾ 轴平动 ζ 距离且绕 e₃⁽⁰⁾ 轴转动 ψ 角，B₂ 沿 e₁⁽¹⁾ 轴平动 x 距离且绕 e₁⁽¹⁾ 轴转动 θ 角，B₃ 沿 e₃⁽²⁾ 轴平动 z 距离且绕 e₃⁽²⁾ 轴转动 φ 角。

(1)    试写出每次螺旋运动前后刚体位置之间的旋量变换矩阵。

(2)    设 B₁ 绕 e₃⁽¹⁾ 的角速度为 ω₀，O₁ 点沿 e₃⁽¹⁾ 的 速度为 v₀ , 试计算其余刚体的角速度及基点的速度。

(3)    设 B₁ 沿 e₃⁽¹⁾ 的作用力为 F₀，沿 e₃⁽¹⁾ 对 O₁ 点的力矩为 M₀，试计算其余刚体的作用力和相对各自基点的力矩。

图5   三刚体空间机构

解: (1)  各次螺旋运动的旋量变换矩阵：

                                       (19)

为简化表达，其中以 c 表示 cos，s 表示 sin 。将以上各子矩阵代入式 (17)，组合成旋量变换矩阵:

                                                                                                       (20)

(2)   各个刚体的速度旋量：

                                    (21)

(3)  各个刚体的力旋量：

                             (22)

参考文献

[1]  Ball R S. The theory of screws: A study in the dynamics of a rigid body.Hodges,Foster,1876

[2]  Clifford W K. Preliminary sketch of biquaternions. Mathematical Papers, Paper 20, 1873 : 381

[3]  Yang A T. Calculus of screws, Basic questions of design theory, Elsevier, 1974

[4]  刘延柱，潘振宽，戈新生. 多体系统动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2014

附录：矢量的矩阵表达与坐标变换