1.       凯莱－克莱因参数

前篇博文“刚体姿态的数学表达(二)：欧拉参数与四元数”里叙述了欧拉参数和四元数，作为表达刚体转动的有效数学工具。本文叙述所引申出的另外两种表达方式。

1845 年英国数学家凯莱 (Cayley,A., 1821-1895) 在提出四元数概念后，又于 1874 年和德国数学家克莱因(Klein,F.C.)（图1, 2）提出用 4 个复数 a, b, c, d 组成的 2×2 矩阵 Q ，称为凯莱－克莱因矩阵：

                                             (1)

参数  a, b, c, d  是以实数 λ_k (k = 0,1,2,3) 组成的复数，其中 a 与 d，c 与  -b 互为共轭：

                                   (2)

若将参数 λ_k (k = 0,1,2,3) 理解为欧拉参数，则  a, b, c, d  成为欧拉参数的另一种表达形式，称为凯莱－克莱因参数 (Cayley- Klein parameters) ^[1,2]。利用凯莱－克莱因参数表示的欧拉参数为

                  (3)

图1  凯莱(A.Cayley, 1821-1895)

图2  克莱因(Klein,F.C.,1849~1925)

将式 (2) 代入用欧拉参数表示的有限转动矩阵 A : 

                                        (4)

成为有限转动矩阵 A 用凯莱－克莱因参数表示的另一种形式：

                (5)

将式 (2) 代入凯莱－克莱因矩阵 (1) ，可直接导出 |Q| = 1，且 Q 的逆矩阵与共轭的转置矩阵 Q^H 相等，证明 Q 为正交矩阵。凯莱－克莱因参数作为欧拉参数的替代形式，对刚体有限转动导致矢量位置变化的计算过程似无实质性影响。利用凯莱－克莱因矩阵 Q 的线性变换属于经典力学的研究内容。所引申出的关于复数空间内的变换问题多限于数学范畴。

2．罗德里格矢量

    罗德里格矢量是从四元数演化产生的数学概念。他在提出利用半角公式创造参数 λ_k  (k = 0,1,2,3) 的同时，还提出一种简化方案（图 3）。即将其中的 λ_k (k = 1,2,3)与 λ₀ 相除，转化为与半角正切成比例的 3 个独立参数，称为罗德里格参数（Rodriques parameters）^[3]。

                                                                                                       (6)

图3   罗德里格 (B.O.Rodrigues, 1794~1851)

这一改变消除了四元数里的标量 λ₀ ，仅剩下由 ρ_k  (k = 1,2,3) 定义的以转角之半 θ/2 的正切 tan(θ/2) 为模，沿转动轴  p 方向的矢量  ρ ：

                                                                                                                                 (7)

 矢量 ρ 称为罗德里格矢量（Rodriques vector）^[3]。也有文献以吉布斯（Gibbs,J.W.）命名，似根据不足。罗德里格参数与四元数之间有以下关系：

                                                                                            (8)

其中 ρ =  tan(θ/2) 为矢量  ρ 的模。将上式代入用四元数表达的有限转动张量A：

                                                                                       (9)

化作

                                                                    (10)

与四元数相比，罗德里格参数是与刚体转动自由度数相等的独立变量。虽然存在正切函数的奇点问题，但有效范围比欧拉角或卡尔丹角明显扩大。是工程技术问题中实际采用的描述刚体有限转动的有效数学工具。

3．改进的罗德里格矢量

      罗德里格参数构成的矢量  ρ 与四元数里的 λ 矢量均沿转动轴 p，仅矢量的模由 sin(θ/2) 变为 tan(θ/2)。当 θ 趋近 ±π 时，罗德里格参数因 tan(θ/2) 无限增大而出现奇异性。但与欧拉角的奇点 0 或卡尔丹角的奇点 ±π/2 相比，罗德里格参数有更大的有效范围。只要转角 θ 的变化不超出 (-π, π) 范围，罗德里格参数就能有效使用。

罗德里格参数还有进一步改进的余地。1987 年马兰迪（Marandi,S.R.）等人在论文中提出^[3]，只要将罗德里格参数中的 tan(θ/2) 改为 tan(θ/4) ，就能使 θ 的奇异位置从 ±π 变为 ±2π，使有效使用的范围实际上不受限制。将所构成的新参数记作 r_k  (k = 1,2,3)，定义为

                                                                                      (11)

作为新的罗德里格矢量 r = ptan(θ/4)，与四元数之间有以下关系：

                                                                                                           (12)

其中  r= tan(θ/4) 为矢量 r 的模。代入式 (9) 表示的有限转动张量 A，化作

                                            (13)

对于确定的基，也可列出相应的有限转动矩阵用于实际计算。

参考文献

 [1]  Klein F. über binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst. Mathematische Annalen, 1874, 9: 183-208.

 [2]  Cayley A. On the correspondence of homographics and rotations. Mathematische Annalen. 1879,15:238-240

[3]  Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ses déplacements consideérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal des Mathematiques Pures et Appliquées, 1840, 5: 380-440.

  [4]  Marandi SR, Modi VJ. A preferred coordinate system and the associated orientation representation in attitude dynamics. Acta  Astronautica, 1987, 15: 833-843.

     （改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版)，4.1节. 北京：高等教育出版社，2016）