哥德尔命题6、背景知识和ω一致性观念——哥德尔读后之十七

这一篇读后，间隔的时间有点长。炎热的气候，还有继续在捣乱的新冠疫情，还有顶着疫情在东京召开的奥运会，全都在耗散你的效率。6月的广州疫情，让广州紧张了一个多月。刚刚缓过气来可以到处走走了，北京的一场大暴雨，无情打断了你预计的行程。真个是：

广州疫情北京雨

游兴萌生天无情。

紧接着，郑州又摊上事了，更为无情的大水，让好多人就那么离开了这个折腾不休的世界。一年多来，让人爽心的事少，让人纠结的事多。郑州的事情只过了几天，当你再盘算出去走走的时候，新冠疫情又从南京传出来了，好像比广州那一次更为来势凶猛，刹那间星点撒布各省。这次可好，基本上，你是哪里也不用折腾，乖乖呆在家里好了。看着那张近期的疫情图，我仿佛就回到了去年湖北疫情的那个时候。

静悄悄的南京禄口机场

好在这个世界还是留下了一些温馨活力的空间，东京奥运会在空场之下，诸多项目都让人感奋。人的能力虽然不能盖天，但生命的活力在运动这个领域，真还让人在无奈之中看到许多希望。此次奥运有许多让人惊异感叹之事，我尤为感叹的是奥地利那位自行车手，竟然可以不用教练，不用团队，不以专业运动员身份来获得她所参加的那个项目的冠军。这个奥运奇闻，大概在说明个人精神和团队精神，在一些情况下是后者先于前者，在另一些情况下则是前者先于后者的。

奥运照片

还好在这个世界还留下许多思考学习的空间，这会让你留下文字的记忆。哥德尔的原著读到命题六这里，卡住这么长时间，终于有了点思路，在命题六之前，对那些背景性知识做一点回顾，然后把证明命题六的另一个条件ω一致性观念做个梳理，应该可以构成一段文字，于是就有了这篇博文。

一、哥德尔两个不完全性定理的基础性背景知识

哥德尔的原著读到命题6（VI）这里，进入到原著的核心部分，也就是命题6和它的证明过程。这个命题6及其证明，称为论文核心，乃是因为这个命题6，就是现代逻辑和现代数学史上的两个著名定理中的第一个定理。即命题6所表述的“哥德尔第一不完全性定理”。其二则是原著末尾的命题11（XI）所表述，同样著名的“哥德尔第二不完全性定理“”。用数学家克林的论述：这两条定理在逻辑和数学领域受到最为广泛的注意，并且影响到元数学的整个规划及其哲学（克林《元数学导论》第224页）。

本篇仅讨论命题6，命题11且留待续篇。但这两个著名定理具有同样的数学与逻辑背景，接触哥德尔论文核心之前，对哥德尔这两个不完全性定理的这一共享背景，再来浏览回顾一番，好像有这个必要。

第一个背景，哥德尔的P系统。

这个P系统是这样构成的，它在罗素与怀特海《数学原理》的逻辑系统中，加进了皮亚诺算术公理化系统。哥德尔在原著第二章给出了这个P系统的基本符号，公理模式和推理规则。布尔、弗雷格、罗素等人构想了现代逻辑系统，戴德金、皮亚诺等人构想了算术公理化系统，哥德尔则把这两种系统整合在一起，在这个基础上来反观数学和逻辑的一些超越系统之外的东西，有点意思。

第二个背景，哥德尔数。

这个系统P的基本符号和自然数之间有某种一一对应关系，P系统中的各类符号表达式都有某个确定的自然数与之对应，这些对应的自然数，后来被人们称为哥德尔数或者哥德尔编码。人类在有了数字这东西给物质实体相配之后，法国学者理查德，给非实体的字符符号配数，从而有了所谓理查德数。这个哥德尔数，我想，应该是法国人的理查德数，向更为抽象实体配上数字的又一种尝试。

第三个背景，原始递归函数。

哥德尔在第二章给出系统P和哥德尔数的基本观念的同时，给出了有关递归的定义，一个不属于系统P，但又可以作为测试该系统特性的定义。哥德尔这里的递归，其实就是原始递归。原始递归与函数结合在一起形成所谓原始递归函数，哥德尔称之为递归定义的数论函数。哥德尔两个不完全性定理的证明，依赖的就是这类原始递归函数。

第四个背景，系列原始递归函数客体1-45的定义。

从定义1到定义45中的函数，都属于原始递归函数。唯一不属于原始递归函数的定义是最后一个定义46，这个元数学的定义，描述了一个可证公式的等价条件。这46个定义，即是理解哥德尔两个定理的背景，也是哥德尔论文的一个创新。函数，这个据称由莱布尼兹开创的现代数学概念，演化到哥德尔那个时代，哥德尔用他的递归函数观念，在证明其两大不完全性定理中发挥了极其重要的作用，也就是从那个时代开始，有了原始递归函数论这样一门全新的数学学科。除了这个原始递归函数观念，还有一个值得关注的观念，那就是逻辑谓词的观念。这些原始递归函数的另一种理解方式，就是可以把这些函数表达式也看成是一个形式客体所具有的性质，所谓逻辑谓词，就是表达某个客体性质的形式符号。

第五个背景，命题6之前的5个命题

命题1-4（1-IV）

在给出原始递归函数的定义之后，哥德尔接之就列出命题1-4，并依据原始递归定义证明了这四个命题。

命题5（V）

在给出定义1-46之后，哥德尔列出命题5（V），这被称为表达定理，意指“每一个原始递归关系都在系统P中可表达‘’这样一个事实。这个事实表明，每个原始递归关系都有与之对应的算术公式存在，由此这个命题5也常被人们称之为对应定理。

现在，我们对于论文的阅读就进入到哥德尔原著论文的核心，命题6，哥德尔第一不完全性定理了。这是哥德尔论文意欲达到的目标，证明一个如同P那样的形式系统中，总会存在不可判定的命题。

二、系统的简单一致性

（一）逻辑与数学赖以存在的一致性

除了以上背景性知识，在开始正式证明第一不完全性定理之前，哥德尔又准备了一样东西，这就是命题6在证明之前给出的ω一致性观念。在给出这个ω一致性的假定之前，我们先强调一下一致性观念的重要，然后描述一下哥德尔之前就有的一般的一致性观念。

总有人在挑战数学和逻辑赖以存在的一致性，但不是用数学家的思维来挑战这样的底线基础，而是在不相干的一些外行人的评述中寻找依据。这让人感到，这个世界总有人在挑战神圣和敬畏，真善美则被丢到了九霄云外。本来挑战不是坏事，但抱着个仰仗权势的心态来挑战科学常识，实在是有点背离学者的正道。不过，这做学问也许就没有正道，学问本来就是这个世界的一个附庸，悲矣哉。且不管它是正道还是附庸吧，还是回到和哥德尔ω一致性观念相关的那个一致性上来。

在梳理模态发展的历史时，模态逻辑的创始人刘易斯在哥德尔之前，建构他的严格蕴涵系统之际，在他的系统中就引入过“一致性”观念，并把这个观念看作是他系统中的一个算子。用这个一致性算子来定义他的严格蕴涵，从而发展出最早的模态逻辑S1-S5。（见刘易斯《符号逻辑概览》1918）。在模态逻辑中，常常考虑的是模态“可能”的强弱，一致性的强弱好像被忽略了。但可能性和一致性真还很相像，至少在刘易斯的模态逻辑中，你还很难给这两个有点哲学意味的观念做出明确的区分。

模态逻辑和元数学毕竟不是同族学科，各有各的所好。当从元数学的完全性角度来看待一致性观念的时候，一致性就如同模态的可能性一样，有它的强弱之分了。

一致性也可以翻译为无矛盾性，这被数学家和主流哲学家看作为理性的擎天支柱。理性一定是无矛盾的，出现矛盾的思维一定是混乱的，诡辩的或者是非理性的。这个底线能够突破么？就是把牛皮吹得撑天堵地，我大概也不会相信这种突破。除非是真出现所谓的翻天覆地，乾坤倒转。但人类真有这么伟大的神力么？魔鬼与妖孽也不可能有，肉身之人，你就是攀上再显赫的权贵，还是肉身，能把这个世界怎么样？神圣的大自然和颠覆、跳跃这样的恶魔心态，大概就是不一致的。

（二）简单一致性观念

元数学的一致性观念在遭遇到哥德尔P系统之时，我们所看到的客体，全都是各种形式符号。这些形式符号，如果按照P的规则行事，又构成符号序列。一个符号Φ在P中可证是什么意思呢？那是说，在P中存在一个符号序列是Φ的证明，序列的末位在前符号是证明的过程，序列末位符号则就是需要证明的Φ。这是哥德尔定义44和定义45所规定的，而如果一个符号Φ不存在这样一个符号系列，自然这个符号Φ就是不可证的或者说是可驳的。由这个可证和不可证的两分，我们就有了称之为素朴的或者简单的一致性观念。

简单一致性：

设有一系统S（一般地，任何具有否定词符号Ø的系统

），在S中，没有公式是可证的，同时又是不可证的，那么，系统S就是简单一致性的。

自然，如果一个系统S，存在公式既是可证的，同时又是不可证的，那么，系统S就是简单不一致性的。

这种简单一致性观念可以表现为语义上的一致性，从而使得一个系统具有完全性。那就是：一公理系统是完全的，当且仅当在个体域有穷的情形下，可证公式总是真的，或者说普遍有效的。

（三）简单一致性和哥德尔定义46

这种完全性告诉我们，可证公式和真公式是完全对应的，可证意味着真，而真也意味着可证。这种可证和真的对应，它的反面，即不可证意味着不真，或者不真意味着不可证么？当我们考虑形式客体的这种否定形式一致性，即不一致的时候，如哥德尔定义46所揭示的，好像有点不一样了。

定义46：唯一不是原始递归函数的最后一个定义-可证定义

1962年译本

Bew(x)=(Ey) y B x   （1）                    

2000年译本

provable(x)$y.proofFor(y,x) （2）

说x是一个可证公式，那是什么含义呢？那就是说存在某个y，它对于x是可证的。

我以为采用以下定义似乎更为合适而且直观：

Isproveable(x)≡$y(proof(y,x))。 （3）

依据这个定义46（3），如果我们考察定义两旁符号的逻辑意蕴，则定义左式是一个元数学领域的一元谓词，表达了“x可证“。而定义右式则是一个描述x具有何种性质的元数学陈述，那就是，符号y是x的一个证明，但右式却有一个存在量词的前置。这就使得，当我们忽略存在量词单取(proof(y,x)和左式比较的时候，明显地，

Isproveable(x)强于(proof(y,x)，也就是谓词“可证”强于性质“是一个证明”，因为从前者可以导出后者，从后者则不能导出前者。而要使得二者等价，那就需要某种元数学的假定，这个假定就是ω一致性观念的假定。（参见康宏逵《可能世界的逻辑》第9页）。

克林在其《元数学导论》一书中，换了一个角度来看哥德尔ω一致性观念的引入。

设有两谓词表达式A(a,b)和B(a,c)，因为有哥德尔对应定理5，每一形式符号都有对应的哥德尔数，我们约定，如果n是一公式Φ的哥德尔数，我们就以Φ_n指定该公式，自然，这个公式也可以表达为Φ_n(n)。由此，

在A(a,b)中，a是一公式A_a(a)的哥德尔数，而b是公式A_a(a)证明的哥德尔数。注意，一个是公式本身的哥德尔数，一个是推出这个公式证明序列的哥德尔数。

这个A(a,b)，是用肯定式来表述的一个谓词符号串。现在，我们给出一个否定式的谓词符号串B(a,c)。

在B(a,c)中，a是一公式A_a(a)的哥德尔数，而c是公式ØA_a(a)证明的哥德尔数。这里同样提醒注意，一个是公式本身的哥德尔数，一个是得到这个否定公式证明序列的哥德尔数。

有了A(a,b)，再考虑一个带全称量词的否定公式"b ØA(a,b)，b被量词约束是不自由的，该表达式仅有一个自由变元a。这个全称否定的公式，它同样有一个哥德尔数，记为p。由此，否定公式"b ØA(a,b)，因为有哥德尔数p，按照在先的约定，这个公式就可以用A_p来表示，也可以写为A_p(p)。若以数字p来替换该否定公式中的自由变元a，那个否定公式就转换为"b ØA(p,b)。它可以解释为以下命题：A_p(p)是不可证的。

克林的这个形式符号的腾挪转换，意在表明哥德尔给出的一个假定。如同克林所言：

‘’在上述权宜性论证中所作的假设，即如果A或者ØA为假，它便不能在系统内证明，在现在的元数学论证中便应换以一个元数学的等价假设，就如果A假则A不能证而言，这个等价物就是系统的简单无矛盾性（即简单一致性）。就如果ØA为假，则ØA不能证而言，我们就需要一个更强的条件，叫做ω无矛盾性（一致性）。‘’（参见克林《元数学导论》上册第226-227页）

还没有完全弄明白康克这两位老先生导入ω一致性的理由，但似乎在他们的文字符号中，感觉到某种在靠近哥德尔的东西。简单一致性的系统，是把可证和真看作是完全对应的系统。而哥德尔第一不完全性定理的证明，仅仅简单一致性是不够的，它需要更强一些的假定。这样的假定中，可证不一定完全对应于逻辑真，不可证不一定完全对应于逻辑假。哥德尔的P系统，在ω一致性的假定之下，含有不可判定的命题。

三、ω一致性观念

现在，我们引入哥德尔的ω一致性观念。

哥德尔原著文本这样来描述ω一致性观念：

设c是任意公式类。我们用consequence©表示c的直接后承集合，用这个后承集合符号指称这样的最小公式集合，它含有所有c的公式，所有c的公理，并且相关于直接后承关系封闭。集合c是ω一致的，如果不存在符号a使得：

(("n(subst(a,v,Z(n)∈consequence©))∧((not(forall(v,a)) ∈consequence©))

（参见哥德尔原著1962年译本第52页）

在这个符号串中，v是类符号a的自由变元，Z(n)如定义17所示，表示数字n的数字符号，也就是它只代表数字而非数字之外的客体。于是，这个合取公式符号串的左式就是一个全称公式，它表示，所有那些用数字替换变元而获得的有穷公式A(0),A(1),A(2)…，等等，它们全属于直接后承关系下的真公式，也就是说，它们属于可证公式。这种情形下的公式可以表示如下：

├A(0)，├A(1)，├A(2)，……，也就是推出├"xA(x)。

符号串合取右式由一个与前相否定的系列公式构成。这个右侧符号串恰好表达了相矛盾的结果，也就是这些否定公式也属于可证公式。

├ØA(0)，├ØA(1)，├ØA(2)，……，也就是推出├Ø"xA(x)。

由此，这两个合取支拼接起来就是如下表达式：

├A(0)，├A(1)，├A(2)，……，∧├Ø"xA(x)。

由此，我们就可以简洁地说，什么是ω一致性观念呢？称一个系统S是ω一致性的，那就是在S中不存在一个变元x和它组成的公式A(x)使得这样的公式├A(0)，├A(1)，├A(2)，……，∧├Ø"xA(x)成立。这也正是哥德尔为命题6的证明准备的条件。

自然，如果是ω不一致性，那就是在S中存在一个变元x和它组成的公式A(x)使得这样的公式├A(0)，├A(1)，├A(2)，……，∧├Ø"xA(x)成立。

由此，我们就可以开始哥德尔命题6的证明了。这个证明有一点长度，且留待续篇吧。