求知以解惑 温故而知新 ——重读哥德尔之一（开篇）

引言：有幸结识科学网，这里大概弄科学，弄逻辑的人多，正在研读哥德尔，且把读哥德尔的旧作搬至此，大概有十多篇，取其首篇，然后再续上新近的开读原著篇，算是表明我在做的事情吧。）

一、初识哥德尔

对哥德尔的认知是从那本大部头的《哥德尔 艾舍尔 巴赫 集异壁之大成》开始的（以下简称《集异壁》）。把哥德尔与音乐家，与画家联系在一起来描述，这让我倍感惊奇，它拓宽了世俗凡夫之人的眼界。一首音乐，竟然可以是对于逻辑的奉献。而逻辑学家哥德尔，不仅可以和德国大音乐家巴赫的曲子连系在一起，还可以和荷兰大画家艾舍尔的科学画联系在一起。这个世界，骗人的东西很多，但有趣的东西也不少。至少，逻辑的东西还能够和高雅的艺术奇迹般地一起描述，这样的符号场景，你会惊异，同时也会感到十分有趣。

动态的音乐，对我而言，就如同神灵般的存在，真还没有探查那神秘音乐海洋的勇气。静态的绘画，大概因为也是舞文弄墨的功夫，我的感觉，好像更容易亲近一些。这让我追随那本《集异壁》，关注了较长一段时间的艾舍尔。2016年在德国探亲，还冲着这个艾舍尔，专程去了一趟荷兰的海牙，一个安静还颇带典雅的城市，各类博物馆遍布全城。在曾经为艾玛皇宫的地方，参观了海牙这座城市之中的艾舍尔画展，一次非常有意思的旅程（参见我的新浪博客2016博文568-586，601-602）。

除了这个《集异壁之大成》，几年前还仔细看过内格尔的《哥德尔证明》，这本书也和《集异壁之大成》有关，它是《集异壁》作者侯世达倾力推荐的一本书。这些阅读，哥德尔给我留下异常深刻的印象，但对于他的定理证明，仅停留在一般思路的了解层次上。但心里却有一个期盼，求知以解惑，温故而知新。如果有可能，还是要认真地对付一下那个被内格尔说得十分艰深的哥德尔定理。内格尔在《哥德尔证明》那本书的导言末尾，有这么一段话：

如果没有相当的数学训练，要跟踪哥德尔这篇划时代的论著中的证明细节是十分困难的。但是，要使具有尽管是相当有限的数学和逻辑知识的读者，了解他的证明的基本结构和其结果的核心内容还是能够做到的。

（欧内斯特.内格尔，詹姆斯.纽曼合著《哥德尔证明》第4页）

对哥德尔成就的核心内容，去做一般性了解，这大概不难做到。不过，浅尝则止似乎是这个世界的人之通识，见了红灯自然应该是绕道走。但绕着绕着的结果，很可能就脱离原先的轨道了。然而，这个世界的希望之处似乎在于，也有撞了南墙仍不愿停步的人。他绕着绕着，还是想解开原先他意图解开，却怎么也解不开的谜，他还想试试。也许依然是山重水复，但还是要去尝试尝试。

这个重读哥德尔，大概可以看作是起先看了那些与哥德尔有关的书，留下一点点深究的期待。然后，绕着绕着，在对逻辑史，对算术的基础理论有了更为深切一点的认知之后，于是就产生对于哥德尔趣味的某种回归。

二、粗浅地了解逻辑和数学的”一致性“问题

内格尔在陈述哥德尔定理证明的背景知识时，其中有三个章的篇幅，也就是第二章，第三章和第五章，全都用来论述一致性。这本薄薄的小书，全书也就8万多字，共有8章，差不多三分之一还多的篇幅就是论述这个一致性。由该书可见，这个一致性概念在哥德尔定理中的位置。侯世达其实也是这个思路，他在讨论哥德尔的时候，也是先谈一致性。侯世达的论述更为形象直白，我在此借用他的形象描述，简略地来回顾一下哥德尔定理的这一背景。

《集异壁》全书二十章，80多万字。在《集异壁》的导言，他开始提出一致性，随后在第四章，专门来讨论这种一致性。他以欧氏几何的第五公设和非欧几何的诸多种类的历史发展为例，首先说明”解释“概念如何体现在这两种几何之中。从几何学继续到虚拟的形式系统，于是我们得到两组有关一致性概念的定义。

一个是形式系统的一致性概念的定义，首先是系统的外部一致性：

如果一个形式系统中的所有定理，经过解释之后全都成为真陈述，那么，我们就可以说这个系统是一致的。这种一致性，也可以称作为是系统外部的一致性。

这里的外部一致性是表示系统的解释是与外部世界一致的，它的解释是依赖陈述的真，真被看作是一个外部世界的概念。于是，这种外部一致性所关联的外部世界，往往就是我们所生存的这个现实世界。一个定理的真，是以现实世界为参照的。

还有另一个一致性，那就是系统内部的一致性：

如果一个形式系统中的所有定理，经过解释之后，定理之间是彼此相容的，那么，我们就可以说这个经过解释的系统是内部一致的。

这种内部一致性，依赖定理之间的相容。当我们设想这些定理所在的世界之时，不仅仅只是现实世界，还有可能是我们能够想象的任意虚构世界，这就是当今哲学和逻辑领域广为流行的一个观念，”可能世界“的观念。这里的内部一致性观念，在触发你去想象任何的可能世界。所以，那个看起来很有点逻辑意味，也很有点哲学意味的”一致性“，当我们学究式的琢磨它时，它在激发我们对于世界的想象力。

很为现实的形式系统实例，不是很好设想，《集异壁》好像也没有这样的例子。它没有去设计一个现实世界的系统实例，但却有一个具有内部一致性的系统实例，我们正好直接借用过来。这个简例既给我们说明了内部一致性的概念，也直观地说明了”解释“是个什么样的含义。

假定某个形式系统S有三个定理:

定理1：WdZ； 定理2：ZdG； 定理3：GdW。

因为定理是符号形式，这些符号形式总会应用于某些场合，并在这些场合中获得意义。这时候的符号意义，也就是符号所得到的解释。我们先给组成这三个定理的符号，大写字母符号和小写字母符号以解释。按照《集异壁》中出现的几个人物，有参加龟兔赛跑的乌龟，有古希腊哲学家芝诺，另外则随便虚构一个名为吉士达的人。可以把大写字母符号W，Z和G，分别解释为三个名称（name）。W=乌龟，Z=芝诺，G=吉士达。任意的名称对象当然可以用x，y来表示，这样xdy就可解释为”x下象棋打败y“，自然，d表示的就是x和y之间的关系，这个关系解释为”…下象棋打败…“的关系。

这显然不是对现实世界的解释，恰恰就是刚才提到的，这是《集异壁》想象到的一个可能世界。人的智慧，不就是对于世界的种种想象么？艺术家有想象，作家有想象，哲学家、数学家、逻辑学家其实都是在发挥自身的想象力。

由这个解释的想象，以上的三个定理就分别解释为：

定理1：乌龟下象棋打败芝诺。

定理2：芝诺下象棋打败吉士达。

定理3：吉士达下象棋打败乌龟。

这是非常怪诞的象棋比赛圈，恐怕只有神话或者童话才会有如此之情节。但用常识直观来看这样的比赛场合，你会觉得没有什么不可理解的东西，它们是相容的，它们具有内部一致性。

讨论了一致性的正面，给出了这个定义的实例解释，我们再来讨论一致性的反面，这就是一致性的否定：不一致性的定义。

如果一个形式系统中，至少有一个经解释后的定理是不为真的陈述，也就是假陈述，那么我们就称这个系统出现了不一致性。

这种不一致性，也称作系统与外部世界的不一致性。这种外部不一致性所关联的外部世界，往往就是我们所生存的现实世界。一个定理的真或者假，一般而言，不就是以这个现实世界为参照的么？

自然，相对应的就还有另一个不一致性，那就是系统内部的不一致性：

如果一个形式系统中的所有定理，经过解释之后，定理之间是彼此不相容的，那么，我们就可以说这个经过解释的系统是内部不一致的。

这种内部不一致性，依赖定理之间的不相容。自然，这种内部不一致性所关联的外部世界，也是人的想象力构造的可能世界。

《集异壁》给出的实例好像不是太贴切，我尝试换一个解释实例。

假定这三个定理的关系d的解释，不是”x下象棋打败y“中的”…下象棋打败…“关系，而是”x比y矮“中的”…比…矮“的关系。则这三个定理的解释就分别是：

定理1：乌龟比芝诺矮。

定理2：芝诺比吉士达矮。

定理3：吉士达比乌龟矮。

对于这三个定理的解释，你一定会感到有些别扭。这三个定理，你很容易就感觉到不相容。吉士达怎么可能比乌龟矮呢？连芝诺都比吉士达矮，自然的推论结果是乌龟一定比吉士达矮才对。如果一个系统中定理之间，出现这种不相容，或者说互相矛盾的情形，那就表明，这个系统是内部不相容的，内部不一致的。（参见《集异壁》第四章）

关于哥德尔定理背景知识的一致性概念，暂且说到这里，我该从一致性，跳到那个著名的哥德尔编码上去了。

三、无门与哥德尔编码

内格尔说：哥德尔的论文很艰深，在得到主要结果之前，必须先掌握46个预备性定义和重要的引理。这似乎在告知我们，你要理解哥德尔的证明，你就得对哥德尔的编码有点感觉才行，否则你就谈不上对哥德尔有所理解。这个论述和《集异壁》是一致的，《集异壁》的第九章，讨论无门与哥德尔，这里的哥德尔，其实就是指的哥德尔编码。

把禅宗的无门关与哥德尔联系起来，这也是让我感到有趣的一种联系。佛教产生于印度，但佛教在印度好像不是很发达，中国那才是佛教发达。你只要看中国佛教的繁多类别，就知道中国佛教的厉害了。笔者有幸参加过一次中国佛教两千年的纪念大会，从那时得知，中国佛教有藏传、蒙传、汉传等诸多教派。除了这样的分类，还有其它的一些分类。佛教的禅宗，就是中国这块土地另一种佛教分类中的教派，这个教派还传布到全世界。美国人写的《集异壁》，竟然就提及到禅宗的无门关。科学很神奇，这宗教也是很神奇呢。

各类佛教教派有无数佛教经典，禅宗无门关，则是佛学经典宝藏之一。《集异壁》在第四章摘录无门禅语首条经典《赵州狗子》，另起名称为“无门论无”。但首句不知为何未选，我摘其小部分，加上首句问答如下：

无门论无（在《无门关》一书中为首篇经典，题目为“赵州狗子”）

赵州和尚因僧问：“狗子还有佛性也无？”州云：“无！”

以下为《集异壁》所载，我摘录其头四行。

无门曰：“参禅须透祖师关，妙语要穷心路绝。祖关不透，心路不绝，尽是依草附木精灵。且道：如何是祖师关？只者一个’无‘字，乃宗门一关也，遂目之曰《禅宗无门关》。

（参见侯世达著《集异壁》第338页）

“无”乃宗门一关也，那这个无门关的“无”，与哥德尔有什么关联呢？这个关联还真是一开始就有。《集异壁》第一章给出的一个谜题，“你能产生WU吗？”那个大写的WU，不知《集异壁》是有意还是无意，中文读法正是无门关的那个”无“。

《集异壁》谜题“你能产生WU吗？”，是把这个WU当作形式系统的一个定理来看待的。这个谜题提出之后，经历过几个章节的铺垫，我们来到了第四章无门与哥德尔。这里，我们就有机会借用无门关赵州狗子的问题样式，来解读这个谜题了。这就如同《集异壁》所言，从无门到WU谜题，是从飘渺超越的佛学高度降落下来，落到单调而且平凡的《集异壁》中的WU。

于是，“狗子还有佛性也无？”

把狗子换成WU，佛性换成定理，就变成这样的问题：

“WU还有定理性也无？”

无门关的狗子佛性之问，州的回复是”无“。

《集异壁》WU谜题的回复却不是”无“，不过，它虽然非“无”，却是一个和”无“的意义十分相近的否定词，那就是“不”。

这就告诉我们，第一章给出的那个形式系统WJU中，WU不是一个定理。这个接近“无”的否定如何得出，我们暂且搁置。从《集异壁》随后的论述中，我们似乎看到，无门关的无门禅语仿佛在暗示着有一种方法，能够让我们领悟到，WU之所以不是定理的缘故。这个方法，就是借助于对符号进行自然数的配置。而对符号进行自然数的配置，那就是哥德尔在他的定理证明中使用的数字配置。这个配置，就是著名的哥德尔编码。

从无门到WU谜题，从WU谜题到WJU系统，当我们对WJU系统的符号给以哥德尔配数之后，这个怪怪的WU谜题，就被我们揭开了。我们找到了一个答复为“不”的问题的解谜途径，这就是哥德尔的编码。而这个编码方式对于答复同样是“不”的更为复杂的形式系统问题，同样提供了解谜的锁匙。