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平均数

已有 9950 次阅读 2021-4-8 16:26 |个人分类:高数|系统分类:科研笔记

常见的平均数有：几何平均数(geometric mean)、调和平均数( harmonic mean)、算数平均数(arithmetic mean)。

（1）几何平均数

在数学中，几何平均值通过使用一组数值的乘积（而不是使用其和的算术平均值）来指示一组数字的中心趋势或典型值。几何平均值定义为 $n$ 个数的乘积的第 $n$ 个根，即，对于一组数字 $x$ $1$ $，$ $x$ $2$ $，...，$ $x$ $n$ ，几何平均值定义为

${\ displaystyle \ left（\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right）^ {\ frac {1} {n}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}$

例如，两个数字（例如2和8）的几何平均值就是其乘积的平方根，即 ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ cdot 8}} = 4}$ 。再举一个例子，三个数字4、1，和1/32的几何平均值是其乘积（1/8）的立方根，即1/2，即 ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {4 \ cdot 1 \ cdot 1/32}} = 1/2}$ 。几何平均值仅适用于正数。

注意：几何平均数通常用于一组数字，这些数字的值要相乘或本质上是指数的，例如一组增长数字：人口价值或金融投资的利率随时间推移。具体意义：对于成倍数增长的数列，几何平均数更能代表最中间的数，因为算数平均数会被极端数值拉大，已经不是最中间的数了。比如 2 4 8 16 38 这几个数字的算数平均数为13.6，而几何平均数为8，也就数说 (a+b)/2 >= (ab)^0.5 --> 源于（a+b）^2 >= 2ab。

几何平均数可以来理解几何的形状。两个数的几何平均值 $一个$ 和 $b$ ，是正方形的一边的长度，该边的面积等于边长为的矩形的面积 $一个$ 和 $b$ 。同样，三个数字的几何平均值 $一个$ ， $b$ ，和 $C$ ，是立方体的一个边缘的长度，该立方体的体积与长方体的体积相同，该立方体的长度等于三个给定的数字。具体理解如下（geometric mean）：

几何平均数的定义是 $G=\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times...... x_{n}}$ ，所以当 $x_{n}$ 为非负数时才可以使用。一般来说几何平均数 $\leq$ 算术平均数。首先，以n=2和n=3举例。

当n=2时， $x_{1}$ =2， $x_{2}$ =18，那么根据公式可得 $G=$ $\sqrt[2]{2\times 18}$ =6 在2维的平面内，将一个2*18的长方形转化成面积不变，边长相等的正方形，如图：

当n=3时， $x_{1}$ =10， $x_{2}$ =51.2， $x_{3}$ =8，那么根据公式可得 $G=\sqrt[3]{10\times 51.2\times 8}$ =16 在3维的平面内，将一个10*51.2*8的长方体转化成体积不变，边长相等的正方体，如图：

应用：几何平均数在用于比较具有许多不同性质的物体，有重要的作用。比如想要比较两个照相机的性能。

相机一：200x放大，8个视野；相机二：250x放大，6个视野。

如果是用算术平均值比较，那么 $\mu$ 1=（200+8）/2=104； $\mu$ 2=（250+6）/2=128，可以看出放大倍数由于其数值较大，对于整个参数评估有很大的影响
如果用几何平均值比较，那么G1=40 G2=38.7 使得放大倍数对于整体估计的影响减小，更能反映出相机的性质，视野大小对于相机也很重要。

（2）调和平均值

在数学中，调和平均数是几种平均数之一，尤其是勾股数平均数之一。通常，它适用于需要平均费率的情况。

调和平均值可以表示为给定一组观测值的倒数的算术平均值的倒数。举一个简单的例子，1、4和4的谐波平均值为

${\ displaystyle \ left（{\ frac {1 ^ {-1} +4 ^ {-1} +4 ^ {-1}} {3}} \ right）^ {-1} = {\ frac {3} {{\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}}}} = {\ frac {3} {1.5}} = 2 \，。}$

正实数的调和均值H $x_ {1}，x_ {2}，\ ldots，x_ {n}$ 被定义为

${\ displaystyle H = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} ++ cdots + {\ frac {1} { x_ {n}}}}} = {\ frac {n} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}}}}} = \ left（{ \ frac {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {-1}} {n}} \ right）^ {-1}。}$

上式中将谐波平均值表示为倒数的算术平均值的倒数。

注意：因为0不存在倒数，所以调和平均数不适用于包含0的一组数字。

调和平均数，强调了较小值的重要性！

在机器学习中。召回率为R, 准确率为P。使用他们对算法的评估，这两个值通常情况下相互制约。为了更加方便的评价算法的好坏。于是引入了F1值。F1为准确率P和召回率R的调和平均数。为什么F1使用调和平均数，而不是数字平均数。举个例子：当R 接近于1, P 接近于 0 时。采用调和平均数的F1值接近于0；而如果采用算数平均数F1的值为0.5；显然采用调和平均数能更好的评估算法的性能。等效于评价R和P的整体效果。

（3）算数平均值此处省去

（4）三者关系

①Geometric proof without words that max (a,b) > root mean square (RMS) or quadratic mean (QM) > arithmetic mean (AM) > geometric mean (GM) > harmonic mean (HM) > min (a,b) of two positive numbers a and b

②http://groups.di.unipi.it/~bozzo/The%20Harmonic%20Mean.htm

例子很形象，关键理解为（公式的简化）：

无加权形式：

加权形式：

Further variations are possible, but rarer in practice. They include means, weighted or not, of more than two marks. For example, a lecturer might weight exam(考试), mid-session quiz(期中测验), and assignments(作业) as 50%, 20% and 30%, and then combine those marks using a harmonic mean formula.

（5）举例说明

对于只有两个数字的特殊情况， $x_ {1}$ 和 $x_ {2}$ ，调和均值可以写成

${\ displaystyle H = {\ frac {2x_ {1} x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2}}}。}$

在这种特殊情况下，调和平均值与算术平均值 $A = {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}}$ 和几何平均值 $G = {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}}，$ 经过

${\ displaystyle H = {\ frac {G ^ {2}} {A}} = G \ cdot \ left（{\ frac {G} {A}} \ right）。}$

因为 ${\ displaystyle {\ tfrac {G} {A}} \ leq 1}$ 由算术-几何平均值不等式，这示出了对于Ñ = 2的情况下ħ ≤ ģ（即实际上适用于所有的属性Ñ）。它也遵循 ${\ displaystyle G = {\ sqrt {AH}}}$ ，表示两个数字的几何平均值等于其算术和调和平均值的几何平均值。