本文对数学分析中的无穷与集合论中的无穷比较如下：

  1）在研究的对象上的区别

  数学分析中的无穷并未限定于具体的研究对象，所以可以研究任意无限现象，

  集合论中的无穷研究以无限集（即集合中元素数目不是有限的集合）中元素数目为对象。

  由于数学分析中的无穷具有普遍性，当然也可用来研究无限集中的元素数目。

2)研究方法的区别

数学分析是通过极限理论对无限进行研究的。集合论是通过一一对应来对无限进行研究的。一一对应原先只用于有限集合，但康托将其推广到无限集合。其推广的可靠性并没有得到过严格的证明，反而产生了诸如“整体等于部分”等矛盾。

   这个矛盾是客观存在的：根据真子集的定义，任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的，即整体永远大于部分，但康托却得出了无限集合与其真子集等势的结论，并因此认为无限集合的“整体等于部分”。 

 客观存在的矛盾并不会因为主观上的不承认(比如说，认为“一点矛盾也没有”)就会自动消失。

3）研究结果的可靠性的比较

   数学分析在工业革命、潜艇入海、卫星上天等大量的人类活动中被广泛应用，从未遇到过可以证明其错误的实践活动，因此其结论具有高度的可靠性。

   集合论的结论必须与数学分析的结论一致，才能证明自己的可靠性。

   以下通过分析一个最简单的例子来比较两者的区别。

   当自然数n趋于无限时，无穷大x=n+1与y=n是否相等？

   集合论用无限旅馆悖论“证明”了两者完全相等（略）。但数学分析却证明了两者不完全相等：

   证明1：x-y=lim_n→∞ [(n+1)- (n)]=lim_n→∞ (n+1- n)=lim_n→∞ (1)=1,即x不等于y。证毕

   要注意的是，这是一个∞-∞型不定式，如果无法直接求解，可将其作一些简单的转化，使其变成 0/0 型不定式或∞/∞型不定式，然后用洛必达法则求解。但在这里由于可以直接求解，没有必要多此一举。

   证明2：x/y=lim_n→∞[(n+1)/(n)]→1, 即n→∞时，x→y（x趋于但不等于y） 证毕

   这里要注意的是，数学分析只是讨论了极限是否存在，以及如果存在的话该如何求极限的问题，并不研究极限是否能够达到。在实际情况中，极限可能达到也可能达不到。

   例如，在证明1中，由于n被消去，所以结果x-y=1实际上与n无关，因此无论n为多少，证明1的结果始终成立，即极限不是渐进式的，因此是可以达到的。

   证明2中，在n趋于无限的过程中，只能渐进式地趋于极限1 但达不到1。这一点，只要以n为横坐标，以(n+1)/(n)为纵坐标，画一张图就可以直观地看到。当然，更严格的是直接用极限的ε-N 定义:

   对任意ε>0,n>N=1/ε 时|(n+1)/n-1|<ε,显然，这里的ε虽然可以任意小，但不可能等于零（否则会导致分母为零这一与初等数学矛盾的结果，而在严格的科学中，任何矛盾都是绝对不允许存在的），所以极限1只能接近但不可能达到。

   因此，在证明2中，x只能趋近于y但不等于y。换言之，证明1，2都表明认为x=y是错的。

   在实际问题中，如果只要求最后的近似结果，当然可以认为x近似地等于y。但在推理的长链上，有时候会出现失之分豪、差之千里的情形，因此除非有十分充足的理由，一般不能在推理中将其看作是相等的。

   这里笔者有一个建议，对于可达极限，可以用lim…=来表示极限，对于不可达极限，应该用lim…→来表示极限。这样不容易混淆。本文的证明1、2就是这样表示的。

   很多问题都是混淆了等于和趋于造成的，有必要分开来，当然这样一来要研究的东西也多了一些。

   数学是严格、精确的，正是这种严格性和精确性，才能保证数学的可靠性。

   至于集合论的其他结果，与数学分析的差异还要大得多，这里就不一一讨论了。

   由此可见，集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。