《Galois cohomology》

J.P.S. p.73

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1.2 First examples

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Let Ga (resp. Gm) be the additive (resp. multiplicative) group, defined by the relation Ga(K) = K (resp. Gm(K) = K*). We have (cf. [145], p. 158):

---- 设 Ga 为加法群，由关系 Ga(K) = K 定义.

---- 设 Gm 为乘法群，由关系Gm(K) = K* 定义.

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评论：下标 a 和 m 是 加法 和 乘法的首字母，并无特别含义.

---- 由于是通过基本扩域 K 定义的，不妨称 Ga 为基本扩域加群，Gm 为基本扩域乘群.

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Proposition 1. For every Galois extension K/k, we have H¹(K/k, Gm) = 0 and H^q(K/k, Ga) = 0 (q ≥ 1).

---- 对每个Galois扩展 K/k，有 H¹(K/k, Gm) = 0 和 H^q(K/k, Ga) = 0 (q ≥ 1).

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评论：Gm 的 1-上同调为零，Ga 的 q-上同调为零.

---- (Galois)上同调该是个集合... 此处的 0 是怎么意思?

---- 可否理解为 Gal(K/k) 和 Gm 在 1-上同调 意义下 “正交” ?

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加评：确实，零是应该首先加以考虑的.

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In fact, when K/k is finite, the modified cohomology groups ^H^q(K/k, Ga) are zero for all q ∈ Z.

---- K/k 有限时，修改的上同调群 ^H^q(K/k, Ga) 对所有 q ∈ Z 都为零.

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评论：此处 “the modified” 的定义不清楚.(?)

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Remarks.

The groups H^q(K/k, Gm) are not in general zero for q ≥ 2.

---- 对于 q ≥ 2，H^q(K/k, Gm) 一般不为零.

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Recall that the group H²(K/k, Gm) may be identified with the part of the Brauer group Br(k) which is split by K; in particular, H²(k, Gm) = Br(k) (cf. [145], Chap. X).

---- 群 H²(K/k, Gm) 可看作 Brauer 群 Br(k) 的一部分，后者被 K 分裂；特别地，H²(k, Gm) = Br(k).

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评论：“be identified with the part of...” 到底谁是谁的一部分?

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小结：以上讲了 Ga 和 Gm 的 Galois cohomology (特别是命题1).

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