《Galois cohomology》

* * * 16:50

... and this functor verifies the following axioms:

---- 这一函子符合如下公理:

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评论：这里所说的函子就是 A(K).

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 (1)  A(K) = lim> A(Ki), for Ki running over the set of sub-extensions of K of finite type over k.

---- A(K) 是 A(Ki) 的 (某种) 极限.

---- “>” 代表向右的箭头 (放在 lim 下方).

---- Ki 在 K 的子扩展集上“跑”.

---- “finite type” 该是指 K 的属性.(?)

---- “over k” 该是关乎 K. (?)

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评论：有时在一长串 “of” 中隶属关系会显得模糊.

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玩一下四角图：

A(Ki)      A(K)

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 k              K

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(2)  if K ~> K' is an injection, the corresponding morphism A(K) ~> A(K') is also an injection.

---- 若 K ~> K' 是单射，则 A(K) ~> A(K') 也是单射.

---- “injection” 意思是单射.

---- “morphism” 中译是“态射”.

(“态射”是指保持 “主结构” 的映射)

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评论：简单讲，函子的“态射”保持单射.

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玩一下四角图：

A(K)  ~>  A(K')

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 K     ~>      K'

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(3)  If K'/K is a Galois extension, one has A(K) = H⁰ (Gal(K'/K), A(K')).

---- 若 K'/K 是 Galois 扩展，则 A(K) 成为 Galois cohomology.

---- A(K) 的样子是 H⁰ (Gal(K'/K), A(K')).

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评论：k “拔高”为 K, 而 K “拔高” 为 K'.

---- 原本是考虑 K/k 这样的 Galois 扩展.

---- 现在替换了一下.

---- 换句话说，K/k 不必是固定的.

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玩一下四角图：

A(K')        H⁰ = A(K)

 K'/K       Gal

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评论：A(K) 和 A(K') 之间只差了个 Galois 群作用.

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[This makes sense, because the group Gal(K'/K) acts --- functionally --- on A(K'). ...

---- 群 Gal(K'/K) 泛函地作用于 A(K') 故而 (3) 有意义.

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Moreover, axiom (1) implies that this action is continuous.]

---- 公理 (1) 蕴含 该作用是连续的.

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小结：之前的准备和这里的论述只是说明 “K/k 不固定更好”.

---- 具体办法是把 A(X) 放到函子的上下文里.

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