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Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》
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Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0065》一阳生先生的《两个问题》的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
评一阳生先生的《两个问题》
第一个问题
(A)
我们先对自然数的皮亚诺公理和用集合定义自然数，以及加法的定义和归纳定义的一些基本认识，作一些补充和说明。然后再来评论一阳生的文章。
(一)关于皮亚诺公理的一些补充和说明。
皮亚诺公理一：0是自然数。
皮亚诺公理二：若n是自然数，则n的后继n'也是自然数。
仅有公理一和公理二不能确切刻划自然数。因为有穷集合S1={0，1，2，3｝，规定其中0的后继是1，1 的后继是2，2 的后继是3，3 的后继是0，这样的集合滿足公理一和二，但是它不是自然数。所以需要下述公理。
皮亚诺公理三：所有自然数的后继都不是0。
另外令集合S2=S1，但后继关系是0 的后继是1，1 的后继是2，2 的后继是3，3 的后继是2。显然也不是自然数。这样的集合滿足公理一、二和三，但是它仍不是自然数。所以需要下述公理。
皮亚诺公理四:自然数不同，后继不同。
显然S2己不滿足公理四，因为1和3不同但它们的后继却相同。
我们称滿足公理一、二、三和四的集合为「归纳集」 。显然上述S1，S2己不是归纳集，归纳集必须是无穷集。但是归纳集仍不能确切刻划自然数。因为例如集合S3=｛0，1，2，3，......，a0，a1，a2，a3，......｝，其中规定对所有的n，n的后继是n+1， an的后继是a(n+1)。显然S3是归纳集，但不是自然数集。
再例如S4是非负的实数集合。令后继就是实数的加1运算。显然S4是归纳集，但不是自然数集合。所以需要下述公理五。
一阳生所述的
【皮亚诺公理五：设P是关于自然数的一个性质。验证P(0)是真的，并假设只要P(n)是真的，P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。】
确切点可改写如下:
皮亚诺公理五(A)：设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。
这个表述形式也称之为自然数的数学归纳法。即皮亚诺公理五(A)：自然数的数学归纳法成立。
实际上皮亚诺公理五( 归纳公理)还可以有以下几种等价的表述形式:
皮亚诺公理五(B)：设S⊆N，且满足二个条件(l) 0∈S；（ii）如果n∈S，那么n‘∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。
皮亚诺公理五(B)的直接推论，或者说是实际含义就是：自然数集合是最小的归纳集。因为若有自然数集N的子集 S⊆N，且S是归纳集，则S显然满足条件(l) 和(ii)，于是根据B，S=N，可见自然数集N是最小的归纳集。
皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。
等价性证明。
A→B。设 S⊆N且滿足 (i)和(ii)，令性质P(n)= n∈S。显然由(l)知P(0)为真，而且由(ll)知如果P(n)为真，则P( n')为真。根据A(数学归纳法)，对于所有的自然数n∈N，P(n)为真，此即n∈S。也就是说 N⊆S。再由于S⊆N，即证 S=N。
B→C。令S={n|n=0，或n可以由0经有穷次后继运算而得到。} 显然 S⊆N，且满足2个条件(l) 0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。根据B，S=N。此即 任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。
C→A。 设P是关于自然数的一个性质。而且能证P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。根据C知， 任何自然数m，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。如果此任意自然数m是0，显然 P(m)=P(0)是真的。如果此任意自然数m不是0，它可以由0经有穷次的后继运算而得到。从而由 P(0)为真，经有穷次的「 由P(n)是真的，推出P(n')也是真的」推理，即可证明P(m)为真。也就是说性质P对于所有的自然数都是真的。即A得证。
由A→B，B→C和C→A，可知皮亚诺公理五的三种表述形式A，B和C是相互等价的。
(二)关于由集合定义自然数的补充和说明。
用集合定义自然数：
(1) 用空集定义自然数0，即0 = ∅。
(2) 若集合a是自然数，用a同｛a｝的并集定义a的后继，即a'=a∪{a}。
不过关于用集合定义自然数还应补充一句，那就是
(3) 自然数仅包括0和由0经有穷次后继运算得到的集合。
也就是说用集合定义的自然数集，仅由这些特殊的集合构成，而不含有其它的不是这种特殊形式的集合。于是有:
0 = ∅
1 = {0}
2 = 1∪{1} = {0,1}
3 = 2∪{2} = {0,1,2}
4 = 3∪{3} = {0,1,2,3}
……。
关于自然数定义中我们补充的这条是相当重要的。在很多严肃的专业书中，都有这一条。例如张锦文著《公理集合论导引》中关于自然数的定义就是这样写的。
定义2.3
(1)0是一自然数。
(2)若n是一自然数，则n'也是一自然数。
(3)每一自然数，都是经(1)与(2)而获得的。
这个(3)实际就是我们所强调要补充的内容。
(三)加法定义和归纳定义方法。
加法是自然数的一种运算，或者严格地讲，它是一个自然数的二元函数。由两个自然数相加，相加的和，即函数值是一个确定的自然数。
后继运算是在自然数定义中己经定义过了的一元函数，任何自然数，它的后继一都是一个确定的自然数。
所谓加法的定义，就是用己知的后继运算来为任意的两个自然数n和m，定义它们的和n十m的函数值。
这里有个逻辑问题，n和m有无穷多个，要为这无穷多个元素的每个元素定义它的和的函数值，难道需要定义无穷多次吗?事实上并不需要。这是由于按皮亚诺公理五(C)，所有自然数要么是0，要么可以由0经有穷次后继运算而得到，我们把自然数的这种结构称为「归纳结构」。对这种由归纳结构的元素构成的集合，我们可采用「归纳定义」的方法来对涉及所有元素的运算加以定义。自然数的加法要针对这无穷多个元素n来定义。这种归纳定义方法，就是先对n=0的情况进行定义，然后在假定对n己有定义的条件下对n的后继的情况下进行定义。例如加法n+m的归纳定义是:
(1)n=0，0+m=m，
(2)己知n+m的定义，n'+m的定义为:n'+m=(n+m)'。
正因为所有自然数的归纳结构，要么是0，要么可以由0经有穷次后继运算而得到。所以对任意的自然数n，n+m的和要么可以直接应用(1)求出(n=0)，要么可以在有穷次的应用(2)后而求出，即逐步求出0+m，1+m，2+m，......，最后求出n+m。
(B)
下面我们对一阳生先生文中的一些观点进行具体评论。
(一)一阳生在文中说:
【 自然数概念本身及具体数字本身都只是名，集合是本质。】
我认为这样的概括并不十分恰当。自然数是一种数学对象。说自然数和具体的的数字本身都是该数学对象的总称和其中元素的名称，这点不假。但是把用集合来定义自然数的这些特殊的「集合」，看作是自然数概念的【本质】恐怕不妥。用集合来定义自然数，只是用来定义自然数的一种方法，是形式之一。谈不上是自然数概念的本质。
因为所有滿足自然数公理的数学对象，都可称之为自然数。因而自然数的本质应该是「所有滿足自然数公理的数学对象」，所述定义的特殊的集合只是这些数学对象的其中之一。
(二) 一阳生在文中说:
【 公理五特别的内涵是由个体推及全体，由有限推及无限。但在没有公理五的条件下，单独通过集合论可以由个体推及全体吗？或者公理五可以被集合论证明吗？(这条公理在集合论中作为结论被证明，而不是与集合论共同作为前提推出结论)。 如果不能，数学基础不能仅仅是集合论而且至少包括归纳法原理。】
(1)对数学归纳法要有正确的认识。数学归纳法虽然叫「...归纳法」，但它并不属于由个体推及全体的归纳思维方法。它仍然是演缂推理的一种推理方法。
数学归纳法的结论是「对全体自然数P(n)为真」，是推及全体自然数的。但它的前提是 「P(0)为真和能由P(n)是真的，推出P(n')为真」。其中P(0)可以认为是个体的属性，但是 P(n)→P(n')却不是个体的属性，而是要求对全体自然数都必须滿足的属性。因而不能认为数学归纳法是由个体推及全体的归纳思维方法。实际上它同其它的数学公理和定理一样，是演绎推理的一种。
(2)说到有穷和无穷，这是一个非常有趣的话题。
首先要说明的是公理一至四己保证了集合的无穷性。也就是说如果一个集合不全滿足这四个公理，有可能是有穷集，如S1和S2是有穷集。但如果全滿足这四个公理，即所谓归纳集，它必须是无穷集。所以在公理集合论中把归纳集的存在公理称为「无穷公理」。而皮亚诺第五公理只是说明自然数集是最小的归纳集，自然，自然数集也是无穷集，是最小的无穷集。
说数学归纳法是【由有限推及无限】，绝不是指它是【由有限个体的属性推及无限个体属性】。前面己经说明数学归纳法中的前提 P(n)→P(n')并不是个体的属性，而是全体自然数都必须滿足的属性。
但是数学归纳法是「由有限步骤的推理，推出无穷对象全体的属性」的典型推理方法。
我们知道，由于受到空间和时间的限制，人们的推理必须是有穷的。要得出一个结论，它的论证的过程必须在有穷步内完成。如果推理进行无穷步，你怎么可能知道推理最后的结论是什么?一个数学证明，严格地讲就是一个有穷的推理步的序列。每一步都是根据公理，定义，定理和前面推出的结论，使用逻辑规则推出本步的结论。而最后一步推出的结论就是要证明的结果。
对于无穷对象，人们只能用有穷的语言来描述(语句就是用有穷个字符组成的有穷字符串，而描述对象的语言是由有穷个语句组成。)我们说「全体自然数」，仅仅用了有穷的5个字，但它却能表示由无穷个自然数所组成的无穷集。这里并不需要也不可能用无穷个符号和无穷个语句来表达无穷对象。一个人的生命是有限的，不可能写完无穷个符号，别人也不可读完无穷个符号。只能限制在有穷的范围之内。
对无穷对象属性的推理，也只能使用有穷步。数学归纳法的使用就是典型的这种推理方法。只要在有穷步内证明P(0)为真，和证明能由P(n)为真推出 P(n')为真。那么就可推出对全体自然数 P(n)为真。
(3)一阳生问:【 在没有公理五的条件下，单独通过集合论可以由个体推及全体吗？】
上面己经说明，数学归纳法并不是【由个体推及全体】的归纳思维方法。同样，集合论中甚至整个数学中的那一套公理、定义、定理以及证明、推理等，一般也都指的是演绎推理。由个别推及一般的归纳思维往往是在理论的探索和形成阶段常用的思维方法，但是在理论的推理和证明中则必须使用严格的演绎推理方法。因而在集合论中并无 与【由个体推及全体】的归纳思维方法相应的公理和定理。
(4)一阳生问:【 公理五可以被集合论证明吗？(这条公理在集合论中作为结论被证明，而不是与集合论共同作为前提推出结论)。】
这个问题严格说，应是这样问: 「在集合论中用定义(1)(2)(3)定义的由这些特殊集合组成的自然数集合是否滿足皮亚诺公理?」或者「在集合论的自然数定义下，皮亚诺公理可否在集合论中证明?」
笞案是肯定的。
公理一和公理二以及公理五可以由定义(1)(2)和(3)直接证明。
皮亚诺公理一：0是自然数。
根据公理集合论中的空集存在公理，空集是存在的。 按定义 (1) 用空集定义自然数0，显然0是自然数，公理一成立。
皮亚诺公理二：若n是自然数，则n的后继n'也是自然数。
按照定义(2)， 若集合a是自然数n，用a同｛a｝的并集a∪{a｝定义为n的后继自然数。同时我们由公理集合论中的并集存在公理和有序对存在公理可容易证明对任何集合a， a∪{a｝的存在。显然 n的后继n‘也是自然数。公理二成立。
皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。
根据定义(3) ，自然数仅包括0和由0经有穷次后继运算得到的集合。显然， 任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。 公理五成立。
皮亚诺公理三：所有自然数的后继都不是0。
按照定义(1)(2)，0是空集，任何自然数a的后继是 a∪{a｝。由于对任何a， a∪{a｝都不是空集，所以 所有自然数的后继都不是0。公理三成立。
皮亚诺公理四:自然数不同，后继不同。
按照定义(2) 任何自然数a的后继是 a∪{a}，所以要证的命题是，如果a≠b，则 a∪{a}≠b∪{b}。
我们用反证法证。假定 a∪{a}=b∪{b}。设A= a∪{a}，B=b∪{b}，即A=B。 由A和B的定义可知a∈A，b∈B 。所谓两个集合相等，按照集合论中的外延公理，就是它们包含的元素相同。根据A=B即可推出a∈B和b∈A。再根据A,B的定义和a≠b ，即可推出b∈a和a∈b，这同集合论中的任何非空集合都存在极小元的原则相冲突(参见张锦文《公理集合论》定理1.24)，或者严格地讲 ，它同正则公理相矛盾 ，所以A=B的假定不成立 。从而公理四得证。
综上所述， 「在集合论的自然数定义下，皮亚诺公理完全可以在集合论中得到证明。」而且这种证明除了使用逻辑推理规则以外，不预设任何前提条件。
(5)由上面分析可知，没有理由怀疑集合论作为数学的基础，这种基础就是指的演绎推理的基础，不包括一般的归纳推理思维。另外数学归纳法也是一种演绎推理的方法，并且限制在自然数的范围之内。类似的方法也限制在有归纳结构的数学对象之内。超出了自然数和归纳结构对象，该方法就失效了，因而不具有一般意义。它不能作为整个数学的基础 。
但是集合论则不同，任何数学对象都可用集合加以定义。而且关于该对象的公理都可以在此定义下，由集合论的公理系统加以证明。因此说集合论是数学的基础。
(三) 一阳生在文中说:
【虽然可以把自然数替换成集合，加法可以用集合的语言来定义。但这是把加法定义本身作为前提，把两个规定作为前提使用的结果。加法定义中的两个规定在自然数本质为集合的条件下，依然是由加法定义本身赋予还是成为可以被集合论证明的结论呢？ 如果加法定义中的两个规定是独立于集合论的，我会认为仅仅把一些特别集合定义为自然数，但依然使用自然数加法定义规定的运算法则，而运算法则本身不能在集合论中被证明(不是定义，定义是在运算法则的前提下)，是没有必要的，甚至是错误的。集合论、皮诺亚公理和加法定义(和自然数的相等公理)共同组成了数学的基础。 】
(1) 我们在前面的A.(三)中己说过，自然数加法的两个规定，实际上是釆用的「归纳定义」的方法对加法运算的定义。由于自然数的加法要对所有的自然数加以定义，而自然数有无穷多个，怎么定义。我们利用自然数的「归纳结构」，即「自然数要么是0，要么是由0经有穷次的后继运算而得到。」采用只有两项的「归纳定义」即可对所有自然数定义加法。按此定义对任何自然数都可在有穷步内求出加法运算的函数值。所以说【加法的两个规定】只是【定义】而不是什么【前提】。
(2)一阳生问:【 加法定义中的两个规定在自然数本质为集合的条件下，依然是由加法定义本身赋予还是成为可以被集合论证明的结论呢？】
加法运算的定义，就是为每个自然数n和m定义相应的函数值，定义本身不是定理不需要证明。需要证明的是该定义所采用的方法是否为所有的自然数n和m都确切地定为了运算结果，即「归纳定义」的有效性需要证明。我们己经说过， 「归纳定义」的有效性，即它可以为所有的自然数n和m，确切地在有穷步内定义运算结果即函数值。能保证这点是基于自然数的「归纳结构」的。而自然数的「归纳结构」即公理五是可以在集合论中严格证明的。这里并不存在什么【运算法则 ，而运算法则本身不能在集合论中被证明。】
(3)综上所述，一阳生所得的结论【 集合论、皮诺亚公理和加法定义(和自然数的相等公理)共同组成了数学的基础。】并不成立，因为皮亚诺公理，加法定义采用的「归纳定义」的有效性，都可以在用集合定义自然数的条件下，在集合论中得到严格的证明。这一切都说明只有集合论才是数学的基础。
至于谈到「自然数的相等公理」，自然数的五条皮亚诺公理中并无单独的「相等公理」。在用集合定义自然数后，集合论中的「相等公理」，即外延公理:「两个集合相等当且仅当两个集合中包含的元素完全相同」，定义了集合的相等，同时也定义了自然数的相等。外延公理同其它集合论的所有公理一起，保证了在自然数的集合定义下皮亚诺的全部五条公理的正确性。
第二个问题。
(A) 如果单纯从语义学和语用学的角度来分析，「任一」 ，「每一」和「所有」这三个词的意思并不相同。例如，我们说「任一同学的意见」，「每一同学的意见」和「所有同学的意见」。这三个语句的所指和涵意是有很大差异的。
但是在逻辑中，具体说在谓词逻辑中。在以x为变元的一元谓词P(x)前，加上全称量词:(x)P(x)，把全称量词解释为「任一」，「每一」和「所有 」时，对(x)P(x)的真假值并无不同的影响，要么三者都是真，要么三者都是假。也就是说，把全称量词作这三种解释是等价的， (x)P(x) 的真假值并无差別。
例如论域是实数，谓词P(x)表示x的平方肯定大于0。显然。「任一实数x，它的平方肯定大于0」， 「每一实数x，它的平方肯定大于0」和 「所有实数x，它的平方肯定大于0」这三者都是真的。也就是说 (x)P(x)都是真的，并无差别。再例如，谓词Q(x)表示x的三次方肯定大于0。显然 「任一实数x，它的三次方肯定大于0」， 「每一实数x，它的三次方肯定大于0」和 「所有实数x，它的三次方肯定大于0」这三者都是假的 ，也就是说(x)Q(x)都是假的，并无差别。
还有一件事需要提及 ，在带量词的命题 (x)P(x)中的变元称为「约束变元」。在数理逻辑中，有一个规则，「约束变量x替换为其它不在式中出现的变元，其真假值不变。」例如，(x)P(x)≡(y)P(y)≡(n)P(n)≡(m)P(m)。
(B) 现在我们来评论一阳生的论述。一阳生的文中说:
【如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。
对于任一自然数n(或设n是自然数)，则以n为元素的。自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。设Ｐ是关于自然数的性质，性质P(n)真，则自然数集合中的元素如n+1、n+2，n+3等等关于性质Ｐ的真假并不确定，因为n可以取值(等于)自然数集合中的元素如0,1,2,3…,n，但无法取值n+1,n+2,n+3…。因为n不等于n+1,不等于n+2,不等于n+3等等。须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假，因为在假设P(n)真条件下，证明了P(n+1)真。 】
这样的理解显然是不正确的，设「任一自然数n，P(n)为真。」既然任意一个自然数能使P(n)为真，显然「每个自然数」「所有自然数」都使P(n)为真。也就是上面所说的，虽然单纯从语义学和语用学的角度来分析，「任一」 ，「每一」和「所有」这三个词的意思并不相同。但是用来解释 (n)P(n)中的量词时，在逻辑上 (n)P(n)的真假值却是完全相同的。也就是说 「任一自然数n，P(n)为真。」就等于在说 「每一自然数n，P(n)为真。」和 「所有自然数n，P(n)为真。」
既然 「所有自然数n，P(n)为真。」把它换成等价的「所有自然数m，P(m)为真。」自然不仅对m=0,1,2,3,...P(m)为真，对m=n+1,n+2,...P(m)也为真。
一阳生说的【 自然数集合中的元素如n+1、n+2，n+3等等关于性质Ｐ的真假并不确定，】以及【 须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假】，显然都不正确。因为从 「任一自然数n，P(n)为真。」己经推出了 「所有自然数m，P(m)为真。」
至于所谓的向实数的推广 ，同理也是没有意义的，就不再赘述。
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