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Zmn-0065 一阳生：两个问题

已有 1994 次阅读 2019-11-9 13:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0065 一阳生：两个问题

【编者按：这是一阳生先生的来信，信中提出了两个问题。现在发布如下，供各位网友共享，并欢迎大家关注和积极参与评论。】

两个问题

一阳生

文清慧老师您好！曾经通过您向薛问天老师请教过一些疑惑。也很荣幸的得到了薛老师的回复。可能是当时我的表达不够准确深入，现在对其中一个问题重新思考了一下。还需麻烦文清慧老师转发薛老师，并可以在评论上发表。先谢谢！

等待薛老师和所有老师的回复批评。

第一个问题：

用集合定义自然数：

0 = ∅

1 = {0}

2 = 1∪{1} = {0,1}

3 = 2∪{2} = {0,1,2}

4 = 3∪{3} = {0,1,2,3}

……

自然数概念本身及具体数字本身都只是名，集合是本质。

皮诺亚公理一：0是自然数。

皮诺亚公理二：若n是自然数，则n的后继n‘也是自然数。

皮诺亚公理三：所有自然数的后继都不是0。

皮诺亚公理4:自然数不同，后继不同。

用集合定义自然数，公理一、公理二是定义，公理三、公理四可以被证明。

皮诺亚公理五：设P是关于自然数的一个性质。验证P(0)是真的，并假设只要P(n)是真的，P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。

公理五特别的内涵是由个体推及全体，由有限推及无限。但在没有公理五的条件下，单独通过集合论可以由个体推及全体吗？或者公理五可以被集合论证明吗？(这条公理在集合论中作为结论被证明，而不是与集合论共同作为前提推出结论)。

如果不能，数学基础不能仅仅是集合论而且至少包括归纳法原理。

加法定义：设m是自然数.为使m加上零，我们定义0+m:=m.现归纳的假定已定义好如何使m加上n.那么把m加于n’则定义为n’+m:=(n+m)’.

加法定义首先规定了两个自然数可以相加(+)，相加的结果是有意义的(与等号右边的某自然数相等)，或者说这定义了加法运算。这根据加法定义可用数学归纳法直接证明。其次规定相加的结果等于某特定自然数(如0+m:=m而不是0+m:=m’；0’+m=m’而不是0’+m=(m’)’)，或者说这假设了自然数之间的关系。

虽然可以把自然数替换成集合，加法可以用集合的语言来定义。但这是把加法定义本身作为前提，把两个规定作为前提使用的结果。

加法定义中的两个规定在自然数本质为集合的条件下，依然是由加法定义本身赋予还是成为可以被集合论证明的结论呢？

如果加法定义中的两个规定是独立于集合论的，我会认为仅仅把一些特别集合定义为自然数，但依然使用自然数加法定义规定的运算法则，而运算法则本身不能在集合论中被证明(不是定义，定义是在运算法则的前提下)，是没有必要的，甚至是错误的。集合论、皮诺亚公理和加法定义(和自然数的相等公理)共同组成了数学的基础。

第二个问题：

如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。

对于任一自然数n(或设n是自然数)，则以n为元素的。自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。设Ｐ是关于自然数的性质，性质P(n)真，则自然数集合中的元素如n+1、n+2，n+3等等关于性质Ｐ的真假并不确定，因为n可以取值(等于)自然数集合中的元素如0,1,2,3…,n，但无法取值n+1,n+2,n+3…。因为n不等于n+1,不等于n+2,不等于n+3等等。须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假，因为在假设P(n)真条件下，证明了P(n+1)真。

我进一步推广了一下，如果用具体的变量符号(如x)，表示某个一般性的实数，那么对于任一实数x(或设x是实数)，性质P(x)真，不等价于对所有实数都真。如Ｐ(x+a)真假不确定，a≠0。对x进行取值，可让a为一常数，随着x取值越来越多，x+a曾经取过的值都在x的取值范围内，但总有新的取值不在x的取值范围之内。即x与x+a的取值范围并不完全“重合”。

文清慧老师，我对这个问题重新思考了一下，对于自然数方面希望比较严谨的表达了我的认知，关于实数的推广方面，表达能力有限。

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