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Zmn-0050 薛问夭；评师教民先生提出的三个问题。

已有 2391 次阅读 2019-8-23 17:28 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0050 薛问夭；评师教民先生提出的三个问题。

【编者按。下面是薛问天先生对Zmn-0048 师教民: 评《于无声中听惊雷，从回答中析共识．评教民先生的七答》的评论中提出的三个问题的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

评师教民先生提出的三个问题。

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 师教民先生建议先讨论【薛问天先生未敢评论的3个问题】，然后再讨论前文中讨论的七个问题。我看也没什么不可。如果师先生坚持，就按师先生的意见办，我同意先集中精力讨论这三个问题。

不过说这3个问题是我【未敢评论】【无力反驳】，未免过于主观了吧！完全不符合事实。关于这三个问题，我实际上己作过多次评论。参见附后的【1】~【5】。

问题(Ⅰ)。关于第二代微积分求导过程是否有矛盾的问题。

这个问题我曾作过评论。可参见:
【1】Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误。一。
【2】 Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)，五，8)。
【3】 Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)。七，3)。

以上是我曾对此问题做过的一些评论。评论的关键点在于指出师先生没有弄清在什么情况下会产生矛盾，在什么情况下不产生矛盾。即师先生不了解如下事实:「推导中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，只有变量取不同的值违背了概念定义的同一性，影响了等式的成立，发生了冲突，才会产生矛盾。并不是说在推理和演算过程中变量取不同值就一定产生矛盾。只要符合定义，能严格证明推论的等式是成立的，就没有矛盾。」师先生把上面这句话看作是什么【口号】，全然不了解这是经过论证的判断是否存在矛盾的准则和理由。也正是由于没有按照这个准则去判断，师先生才犯了错误，把本来不存在矛盾的情况说成是存在矛盾。

现在对这次所提的问题(Ⅰ)具体评论如下。

（A）师文的前部分，关于第一代和第二代微积分的求导过程的推演，基本上没有什么错误，只是在写出(3)式后，作了一些解释，指出

lim_[dx→0](dx)=(dx)|_dx=0 和 lim_[dx→0](2x+dx)=(2x+dx)|_dx=0 后

在总括时，所得结论发生了错误。师先生说【总之，离开了dx=0，正确的导数值2x根本求不出来。在上式中，左边有dx≠0，右边有dx=0。所以，极限理论或第二代微积分和第一代微积分一样，有dx≠0和dx=0的矛盾。】

1) 离开dx=0，正确的导数值，即极限值 lim_[dx→0](2x+dx)完全可以求出来。用极限理论中「和的极限等于极限的和」以及「在dx→0时2ⅹ的极限=2x」和「在dx→0时dⅹ的极限值=0」，就可推出 lim_[dx→0](2x+dx)=2x，並不需要dx=0。

当然，由于dx和2x+dx都是连续函数，可以利用连续函数的极限值等于函数值的性质推出

lim_[dx→0](dx)=(dx)|_dx=0和lim_[dx→0](2x+dx)= (2x+dx)|_dx=0=2x，

但这绝对不能断定说离开dx=0，导数就求不出来。前面直接用极限方法，不用dx=0，不是照样求出导数来了吗？就如同不乘飞机，乘火车同样也可到达北京是一样的。

2）师先生根据【在上式中，左边有dx≠0，右边有dx=0。】就立即得出【有dx≠0和dx=0的矛盾】的结论。殊不知由于有「连续函数数的极限值等于函数值」及2x+dx是dx的连续函数，可严格证明此等式成立。而在证明等式成立的情况下，这里就没有矛盾。请注意我们曾论证过的一个准则: 「等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾。」这不是口号，是判断是否存在矛盾的准则和道理。不能错误地一看到式中左边有dx≠0，右边有dx=0就认为存在矛盾，而不顾对等式成立的严格证明。

3) 在第一代微积分中，导数概念的定义含混不清，似乎把导数定义为增量比函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx=0点的函数值。但是这个定义本身就不清楚，或者说是错误的。因为 G(Δx)= Δy/Δx 在Δx=0点的函数值就没有意义。可是求导过程第一步在Δx≠0的假定下推导出 G(Δx)=F(Δx)=2x+Δx，又在第二步，令函数F(Δx)=2x+Δx中的Δx=0，求出导数=2x。这里之所以有 Δx≠0和Δx=0的矛盾，是因为导数的定义含混不清，既然导数定义为增量比函数G(Δx)在Δx=0点的函数值，而第二步求的是F(Δx)而不是G(Δx) 在Δx=0点的函数值。而F (Δx)是在Δx≠0的条件下推导出来的与G (Δx)相等的函数。这才产生了第一步和第二步中 Δx≠0和Δx=0的矛盾。

但是在第二代微积分中，导数有严格明确的定义，把导数定义为增量比函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx→0时的极限，即

导数y‘=lim_[Δx→0]G(Δx)。...①

由于在Δx≠0的条件下，G(Δx)等于函数F(x)=(2x+Δx)，所以，这两个函数G(Δx)和F(Δx)在Δx→0时的极限相等，即

lim_[Δx→0]G(Δx)= lim_[Δx→0]F(Δx)。...②

再根据F(Δx)=2x+Δx是连续函数及连续函数的极限值等于函数值的性质得出:

lim_[Δx→0]F(Δx)=(2x+Δx)|_(Δx=0)=2x。...③

根据①,②和③，求出:

导数y’=2x。...④

由于论证严谨，演算符合定义的要求，每一步的等式都是严格证明的，从而尽管在过程中有的式子中(①②，和③的左边)变量Δx≠0，有的式子中(③的中间项)变量Δx=0，但是这完全符合定义的要求，并不影响严格证明等式的成立，所以这并不产生任何矛盾。

4) 对第一代微积分中求导过程中的贝克莱悖论要有正确认识。

上面己经指出，第一代微积分中求导过程的Δx≠0和Δx=0的矛盾主要是由于导数概念的定义含混不清或者错误而引起的。

实际上，只要把概念的定义说清楚，这里就没有矛盾。例如，可以这样定义函数f在x0点的导数 (初等):

令函数f在x0点的增量比函数是G(Δx)=(Δy/Δx)，如果存在有初等函数F(Δx)，使得在Δx≠0的条件下G(Δx)=F(Δx)成立，则称函数f在x0点可导 (初等)，并且将导数 (初等)定义为函数F(Δx)在Δx=0点的函数值F(0)。

也就是说，把导数 (初等)直接定义为在Δx≠0下同增量比函数G(Δx)相等的初等函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。由于这个定义清晰明确，这里就不存在任何矛盾。因为这里第一步的在Δx≠0下求同G(Δx)相等的初等函数F(Δx)，和第二步的求出F(Δx)在Δx=0点的函数值，这些都完全符合定义中要求和规定，并不发生冲突，并不引起任何矛盾。这样的定义没有问题，完全正确。只是在第一代微积分的时代，还没有引入极限概念，不知道为什么要这样定义导数。

所以说，不要以为在推导过程中有的要求Δx≠0，有的要求Δx=0就一定产生矛盾。一定要具体问题具体分析。如果这是严格按照定义的规定作的，不发生冲突，就不产生任何矛盾。

当然这里用「初等函数」来定义导数 (初等)有一定的局限性，本来可导的函数在此定义下就有可能不可导 (初等)了。但是这样定义的导数 (初等)虽不完整，也没有用「极限」的概念。但是用现代的极限理论来看，由于初等函数都是连续函数，这样定义的导数 (初等)并没有错，完全符合二代微积分导数的定义。

可以证明，如果将上面定义中的「初等函数」改为「连续函数」，这样的导数定义和第二代微积分中导数的定义是完全等价的。当然，连续函数的概念要用到极限的概念。

(B) 师文说【从(4)式可知，极限理论或第二代微积分把函数 y=x^2的导数先定义为极限值lim_[dx→0][(2x+dx) (dx≠0)]，此时有 dx≠0；再换成极限值lim_[dx→0][(2x+dx) (dx 可等于 0)]，此时可以有 dx=0；又换成函数值(2x+dx)|_dx=0，此时必然有 dx=0．这样，就循序渐进地产生出 dx≠0 和 dx=0 的矛盾．所以第二代微积分与第一代微积分一样没有解决 dx≠0 和 dx=0 的矛盾，】

我在前面的3)中己详细说明，第二代微积分中导数有明确的定义，是把导数定义为Δx→0时函数G(Δx)的极限①，根据Δx≠0时G(Δx)=F(Δx)，但它们的极限相等②，再根据F的连续性，F(Δx)在Δx→0时的极限值等于Δx=0点的函数值③，最后求出导数=2x④。整个求导过程完全符合导数的明确定义，推演中步步严谨环环相扣。所有的等式都有严格的证明。求极限时Δx≠0，求函数值时Δx=0。极限值等于函数值是由连续函数的性质所保证的，所有这些都说明这里没有冲实，没有矛盾。也就是说第二代微积分中的求导过程已经完全消除了矛盾，而师先生还坚持认为它【没有揭开微分之谜或微积分之谜，没有澄清贝克莱悖论，没有平息第二次数学危机，没有攻克被称为第二次数学危机的世界数学大难题．】的论断就是完全错误的了。

我们批评第一代微积分，主要是批评它的概念不清，以及解释不清引起的重重矛盾，而不是否认它的求导方法和结果。这个结果并没有错。在两代微积分中求出的函数x^2的导数都是2x。不能因为【第二代微积分定义的函数 y=x^2的导数和第一代微积分定义的函数 y=x^2的导数完全相同，】就否定第二代微积分的功绩。要知道我们的目的是消除在求导过程中的悖论，而不是连求导方法和结果也一起抛掉。

(C) 至于师先生说什么【给函数(2x+dx)(dx可等于0)在dx=0时的函数值这个常数披上极限符号的画皮并更名为极限值以后，蒙蔽了薛问天先生们的眼睛、但是没有瞒过我的火眼金睛一样。】这段话除了说明师先生对「极限」概念缺乏正确认识以外，完全是一种自欺欺人的自我吹嘘。在这里师先生己经完全失去了理智。要知道「极限值」「函数值」这些都是有严格的数学定义的数学概念，怎么在师先生的【火眼金睛】中全变成可以任意变换的白骨精所披的美丽村姑的画皮了。

(D) 更有趣的是师先生竟然说【极限理论的本质是魔术而不是科学】，说什么【直接求极限 lim_[dx→0][(2x+dx) (dx≠0)]就相当于魔术师在 dx≠0 和 dx=0 的矛盾上盖上了一块魔布(即极限符号lim_[dx→0]),把该矛盾掩盖起来.用极限值等于函数值求导数 2x，就相当于把极限理论的那块魔布掀开，使 dx≠0 和 dx=0 的矛盾暴露无遗．】

在这里师先生完全失去了最起码的理智，真的用观看魔术表演的眼光对待数学科学，竟然对于极限理论中严格的定义与推理而不顾，视而不见。要知道直接求极限中的每一步都是严格推导的。请参阅前面所引的【1】中的论述。在整个推理过程中都是要求Δx≠0。最后一行也只是说Δx的极限是0，并未要求Δx等于0。所以在求导过程中根本不存在Δx≠0和Δx=0的矛盾。

至于说什么【用极限值等于函数值求导数 2x，就相当于把极限理论的那块魔布掀开，使 dx≠0 和 dx=0 的矛盾暴露无遗．】也是完全错误的，我反复论证过，用连续函数极限值等于函数值的定理所证明的等式，根本不存在【 dx≠0 和 dx=0 的矛盾】。

师教民先生: 有了上述的论证，你还坚持认为在二代微积分的求导过程中有Δx≠0和Δx=0的矛盾吗?

问题(Ⅱ)。关于求导过程中的3个Δx是否没有同等对待的问题

关于这个问题，我己经评论过了，参见
【4】 Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)。七，4)。

我想，我在【4】中的评论己经完全回答了问题(Ⅱ)。即指明在极限理论中对式中的3个Δx是同等对待的。都要求Δx≠0。至于师先生认为其中括号里面的那个Δx【规定为必须等于0。】完全是由于他对极限的错误认识所致。

现在对这次师文陈述的问题(Ⅱ)再作些评论。

师先生说:【极限 lim_[Δx→0](2x+Δx)(Δx≠0)就是一个常数 A，而该常数 A 就是极限 lim_[Δx→0](2x+Δx)(Δx可等于0)。】

师先生在极限符号后面的函数(2x+Δx)后分别加上两个不同的注释。一个写着(Δx≠0)，一个写着(Δx可等于0)。不知注释的对象是什么。如果注释的对象是函数(2x+Δx)，显然是错误的。因为函数(2x+Δx)的定义域并未把Δx=0排除在外，始终有Δx可等于0。如果注释的是求极限过程，显然也是错误的。因为求极限的过程中，始终要求Δx≠0。如果是说在求极限中【Δx可等于0】是对极限概念的错误理解。

要知道，在求极限过程中始终是要求Δx≠0的。所以师先生说【只要函数 2x+Δx 中的 Δx 在 Δx→0 时变不到 0，亦即没有函数 2x+Δx 中的 Δx=0，正确的导数值 2x 就永远得不出来．】是错误地理解了【极限】这个概念。在Δx→0时，Δx的极限是0，并不等于说Δx就变到了0。 Δx的极限是0，是Δx无限趋近(接近)于0的意思，并没有【Δx就变到了0】之意。

至于 lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0，这是根据连续函数的性质，说函数2x+Δx在Δx≠0的条件下求出的极限值等于在Δx=0点的函数值。并不是说在求极限时，Δx变到0了。

所以说师先生认为在极限理论中把【括号内部的 Δx 规定为必须等于0】的判断是错误的，是对极限概念理解的错误。自然,师先生在此错误的基础上编造的【画皮】说，也就不攻自破了。

问颢(Ⅲ)。关于0/0是不是极限的问题。

这个问题我也作过评论。可参见:
【5】 Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)，四，2)，3) 。

答案很简单， 0/0不是极限。原因也很简单，在极限理论中没有这样的极限。

现针对这次师文的问题(Ⅲ)，作几点评论。

(A) 在谈到 a=0，c≠0 的情形时，我说的这句话【此时极限是∞，也不是 1/0．因为 1/0 根本不是数，没有意义。】并无错误。因为极限有两种，要么是∞，要么是数。这里己蕴含了1/0不是∞，所以说【因为 1/0 根本不是数，没有意义。】从而1/0不可能是极限。要知道在极限理论中，不是数的极限，只有∞一种。因而除了不是数的∞是极限以外，凡不是数的都不可能是极限。这完全符合极限理论。怎么能是师先生所说的【和极限理论较起劲儿来】，【和我站在一起反对起极限理论来了呢?】

(B) 师先生把我说的「一种求极限的类型的符号」，故意篡改成「极限的类型符号」。尽管只有一字之差，它的含义却有天壤之别。「求极限的类型」指的是求极限的问题的类型，而「极限的类型」是指求出极限后的所得极限的类型。「极限的类型」只有两种，一种是有限极限，极限是确定的实数。一种是无限极限，极限是无穷大∞。而「求极限的类型」指的是求极限时的问题的类型，有0/0型，∞/∞型，...等。不同类型的求极限的问题有不同的求极限的方法。

这里根本不是【符号还有亲有后】的区別的问题，而是「求极限的问题的类型」还是「极限的类型」的区别的问题。说某函数是某种，如0/0型求极限的问题，当然不能说该函数的极限就等于0/0。

师先生用极限理论中把0/0等称为「不定式」来为他辩解。其实所谓不定式，仍然指的是需要求极限的式子、函数和问题的类型，而不是求出的极限值或极限的类型。极限的类型只有两种，有穷的极限(实数)和无穷的极限(∞)。

(D) 我己经说过，我当时主要是针对有限极限讲的这段话: 【极限有严格的数学定义．这里的 0/0 连数都不是，怎么能是「极限」呢？】。如果讲全点应该这么说【极限有严格的数学定义．这里的 0/0 连数都不是，它显然也不是∞，怎么能是「极限」呢？】不是数的极限只有∞一种，0/0显然不是∞，0/0不是数，自然不是极限了。

关键是这里所论证的「0/0不是极限」这个结论是正确的。以及由此作出的〖显然师先生所说的【按照极限理论的正确算法知，当Δx→0 时，Δy/Δx→ 0y/0x... 】是错误的〗，这个评论完全正确。因为这里的0x,0x就是0，把0/0当作为极限值是错误的。在极限理论中没有这样的【正确算法】，也没有这样的极限值。`

附:关于这三个问题我曾作过的评论：【1】~【5】

【1】Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误，一。

一，在极限引入后，函数求导过程己无矛盾。
张景中先生在文中己明确指出，函数y=x^2的求导过程是:
ｙ′ ＝ Lim_{〔Δx→0〕}(Δy/Δx)............①
= Lim_{〔Δx→0〕}((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)......②
= Lim_{〔Δx→0〕}(2x+Δx)............③
= Lim_{〔Δx→0〕}(2x)+ Lim_{〔Δx→0〕}(Δx)......④
=2x+0=2x .............⑤

其中①是根据导数的定义。
①=②根据的是函数x^2的Δy的表达。
②=③根据在条件Δx≠0下，((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)=(2x+Δx)和下述原理：「如果在Δx≠0条件下两个函数相等，则当Δx→0时，该两个函数的极限相等。」
③=④根据定理:「两项和的极限等于两项极限的和」
④=⑤的根据是:
Lim_{〔Δx→0〕}(2x)=2x，
Lim_{〔Δx→0〕}(Δx)=0。

在整个推理过程中都是要求Δx≠0。最后一行也只是说Δx的极限是0，并未要求Δx等于0。所以在求导过程中根本不存在Δx=0和Δx≠0的矛盾。

师教民先生对这样的回答不服。因为师教民先生说他写出的求导过程(后面部分④)不同，是这样写的(注原文Δx写作dx):
=Lim_{〔Δx→0〕}(2x+Δx)......③
=(2x+Δx)丨_Δx=0............④‘
=2x+0=2x。............⑤

这样写有没有错?我认为这取决于是如何陈述它的根据。如果说这里的③=④‘，是因为对任何函数F(Δx)，都有:
Lim_{〔Δx→0〕}(F(Δx)) = F(Δx)|_Δx=0，
那就错了。一般说来，这样的式子并不成立。F(Δx)在Δx趋于0时的「极限值」并不一定等于F(Δx)在Δx=0点的「函数值」。

但是对于连续函数来说，这是对的。又由于2x+Δx是Δx的连续函数，所以这里的③=④‘是成立的，正确的，并没有错。

既然师先生写得没有错，这里的③求极限Δx≠0，而且前面的②=③的推导中，要使Δx/Δx=1成立也要求Δx≠0，而在④‘中给函数赋值要求Δx=0。师先生问这是不是矛盾?是不是说明没有解决第一代徵积分的「微分之谜」?

《综述》认为【对dx≠０和dx=０的矛盾进行直接的批驳，实际上是困难的】，【师教民所指出的dx≠０和dx=０的矛盾却无论如何是避免不了的．】

下面我们来回答这个问题。

我们认为这样的论断是错误的，这里并无矛盾。 ③=④‘式是根据连续函数的性质，函数(2x+Δx)在 Δx→0(Δx≠0)条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。是说Δx在分别不同的情况下求得的值相同，从而列出相应的等式。

这种由于自变量分别取不同值时，列出其某种函数值相等的等式，这是常见的推论形式。如果能严格证明它相等，这种等式并无矛盾。

例如，举个例子。我们对任意的函数f说:(f(x)|_x=-1 )=( f(x)|_x=1 )，这是不允许的。

但是当f(x)=x^2，我们可以严格证明(-1)^2=(1)^2时，你还能说等式(x^2|_x=-1)=(x^2|_x=1) 有矛盾吗?:你还能说这里一会儿 x=-1，一会儿 x=1是矛盾的吗?显然这里没有x=-1同x=1的矛盾。这个等式只是说明当自变量x分别是-1和1时，函数x^2的值相等而己。

所以类似地，我们说「严格根据连续函数的性质推断 ③=④‘，函数(2x+Δx)在Δx≠0条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。」这里不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。

而这点正是同第一代微积分中求导过程的原则不同。在第一代微积分中没有「极限」概念。直接把导数定义为Δy/Δx=2x+Δx在Δx=0点的函数值。显然存在有Δx≠0(等式推导时要求)和Δx=0(求函数值时要求)的矛盾。但是第二代微积分引入了极限概念后则完全不同。③=④‘是根据连续函数的严格推导，推断出在Δx≠0条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。这里不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。

「函数值」和「极限值」这不仅仅是什么【语言】问题和【名称】的不同，这里有严格的原则差异。在求极限时是讨论Δx≠0时的情况，而函数值是讨论Δx=0点的情况，对于连续函数这两者相等，列出它们的等式很正常，这里没有矛盾。在没有引入极限概念之前是有矛盾的，而在引入了极限概念后，所有矛盾都化解了。这正是第二代微积分的核心所在。

为了掩饰矛盾，师先生说第一代微积分可以直接把x^2的导数定义为函数2x+Δx在Δx=0点的函数值。似乎就没有矛盾了。其实这是不行的。要知道函数2x+Δx从哪里来的。它是从Δy/Δx推导出来的，而在推导过程中要求Δx≠0，这同Δx=0发生矛盾。可见在笫一代微积分中，这种矛盾是避免不了的。

也就是说，如果在Δx≠0条件下两个函数相等，则当Δx→0时，该两个函数的极限相等，但是在Δx=0点这两个函数的函数值却不能保证相等。这就是第二代微积分能避免矛盾，而第一代微积分避免不了的原因所在。

综上所述，既使对于师先生写出的第二代微积分求导过程(把④换成④‘)，由于严格地证明了连续函数在Δx≠0条件下的极限值等于函数在Δx=0点的函数值。所列出的等式不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。也就是说它解除了「微分之谜」，Δx等不等于0的矛盾已经并不困难地避免了。

【2】 Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)，五，8)。
8) 下面我们来谈师先生的所谓的Δx无限趋近于0，同Δx取普通值不趋近于0的矛盾问题。

我们先从第一代微积分求导方法有矛盾谈起。那时认为导数就是增量比Δy/Δx在Δx=0点的值。为求y=x^2的导数，分两步。

第一步求Δy/Δx。知Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx=2x+Δx。

第二步，在求出的Δy/Δx=2x+Δx中，令Δx=0，从而得出导数等于2x。

显然这里存在矛盾(貝克莱悖论)。在第一步等式的演算推导中要求Δx≠0，而第二步又令Δx=0。发生了Δx既等于0又不等于0的矛盾。

这给一些人一种错觉，以为在等式中，似乎只要发现变量取值不相同，就一定产生矛盾。其实，事实并不如此。上述之所以产生矛盾是由于变量取不同值影响了等式的推导，Δx=0使第一步的等式不成立，才产生了矛盾。在有些情况下，如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。例如，我们知道(-1)^2=1^2=1。也就有如下式子:

(x^2|_x=-1)= (x^2|_x=1)。......(A)

请问你能认为(A)式有矛盾吗? 那可是等式左边x=-1，而等式右边x=1，你不会说这是既x=-1又x=1而产生矛盾吧I这个变量取值的不同并不影响等式的成立。而是可以严格证明这个等式的成立。

这个例子说明等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾，如果证明不了，等式自然不能成立。

再举一个例子，连续函数的极限值等于函数值。即如果函数f是连续函数，则

lim_[x→a] (f(x))=f(x)|_x=a。......(B)

尽管在(B)式中左边求极限要求x趋近于a，而x不等于a，而右边要求x=a，你能说此式产生矛盾吗?说产生了x≠a同x=a的矛盾吗？显然不能。因为f是连续函数，极限值等于函数值。这个等式是可以证明成立的，因而没有矛盾。

有了上面的分析我们来看(Ⅲ)式:

y’=Lim_[Δx→0](Δy/Δx)=(Δý/Δx)=dy/dx，......(Ⅲ)。

尽管在上式各项中Δx等变量的取值不同，如在第二项中求极限要求Δx无限趋近于0，第三、四项中的Δx可以取任意值，不必无限趋近于0。根据前面的分析，「等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾。」所以不能得出【切线增量Δý，Δx，与Δx→0发生了矛盾。】关键看能否证明等式的成立。而师先生对(Ⅲ)式的相等并无异议，所以说认为(Ⅲ)式产生矛盾的论断不能成立。

【3】 Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)。七，3)。
3) 关于师先生这一大段存在的问题，我在第五个问题的8)的回答中已作了评论。主要的意思是说，有些人对貝克莱悖论有误解，误以为在等式中变量取不同值就会产生矛盾。其实在第一代微积分中，之所以产生矛盾是由于变量取不同值影响了等式的推导，才产生了矛盾。如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，尤其是是如果可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。
也就是说，我们举例详细论证了这样一个准则: 「等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾。」

师先生在⑴中把我的评论理解错了。在推论中用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质。当然没有错误。错在既然己经证明了「极限值等于函数值」，证明了等式成立，就应该承认这里没有矛盾，可师先生还错误地坚持认为这里有矛盾。

师先生在⑵中提出了一个问题，为什么在第一代微积分中Δx取不同值有矛盾而在第二代微积分中Δx取不同值就没有矛盾。

我在前面说过，这是因为师先生在解释貝克莱悖论时，没有注意到在推导公式中Δx的取值不同:Δx≠0同Δx=0之所以产生矛盾，是由于它影响了等式的成立的推导。

在第一代微积分中分两步求导。第一步推导，即Δy/Δx=2x+Δx 。第二步令Δx=0，从而 (Δy/Δx)|_Δx=0 = (2x+Δx)|_Δx=0

第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立，因为此等式的成立是以Δx≠0为条件的。即等式中的变量取不同的值影响了等式的成立，才产生了矛盾。并不是说在等式中变量取不同值就一定产生矛盾。只要证明等式是成立的，就没有矛盾。我可以举大量的例子来说明这点。例如在第五问题8)中举的例子，我们知道(-1)^2=1^2=1。就有如下等式:

(x^2|_x=-1)= (x^2|_x=1)，......(A)

请问你能认为(A)式有矛盾吗? 那可是等式左边x=-1，而等式右边x=1，你不会说这是既x=-1又x=1而产生矛盾吧I这个变量取值的不同并不影响等式的成立。而是可以严格证明这个等式的成立，从而这里没有任何矛盾。

在笫二代微积分中

lim_[Δx→0](Δy/Δx)=lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0
式中前两项Δx≠0，它们的极限相等。而第三项Δx=0，这里并无任何矛盾产生。因为2x+Δx是Δx的连续函数，可证明第二项在Δx≠0的条件下求出的极限值等于第三项Δx=0的函数值。我们严格地证明了Δx≠0的第二项，等于Δx=0的第三项的等式成立。所以尽管Δx取值不同，由于证明了相等，从而这里没有矛盾。

【4】 Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)。七，4)。
4) 师先生在这段中陈述了他认为求导过程是错误的理由。他首先列出求导过程:
lim_[Δx→0](Δy/Δx)=lim_[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)=
=lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0 =2x。
师先生认为极限理论的错误在于对上式中 Δx(2x+Δx)/Δx的三个相同Δx没有同等对待，括号外的二个Δx【规定为不可以等于0】，而对括号里面的那个Δx【规定为必须等于0。】

这其实是师先生的误读。括号里面的那个Δx，同样是不等于0的。在下式中

lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0
左端是在Δx≠0的条件下求的极限。因而这个Δx同前面说的两个Δx一样，是不等于0的。也就是说，在整个求极限的过程中Δx不等于0。上式只是说明在求极限的过程结束以后，所得出的这个极限(常数)，根据连续函数的性质，在数值上等于函数(2x+Δx)在Δx=0点的函数值。不能说在求极限的过程中Δx变到了0。

师先生之所以认为三个相同的Δx不相同，是由于他对极限的错误认识所致。是因为他有这样的错误认识【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】当他改变了这个错误的认识后，三个Δx就没有这些差异了。也就是说师先生在文中所说的那些【出尔反尔地，蛮横地，粗暴地，......】规定，并不是极限理论的规定，而是由于师先生的误读，强加给极限理论的。可见这里并不存在师先生所说的【重大科学错误】。

师先生的论述暴露了他对极限概念的理解有严重错误。例如他提出这样的问题，【......，Δx在Δx→0的过程中变到多少时才能求出极限值?】

而且说在Δx不变到0的情况下，lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=ε
只有在Δx变到0的情况下，才有: lim_[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0

他认为Δx→0时的函数的极限值，就是在求极限过程中Δx所能变到的点的函数值。

这是对极限概念的严重误读。真正的极限概念不是这样。极限值不是定义为某点的函数值，而是定义为无限接近的值。说完整点是，当x→a时f(x)→A是指「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」即极限值是函数值f(x)无限接近的值，而不是x在某个所能变到的点上的函数值。更何况「无限接近于a而不等于a」的过程是个无限过程。没有终点没有最后时刻，所以不存在x最后所能变到的点。

这个无限接近的过程，即「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」用ε-δ浯言能严格准确的表达: 「对任意ε>0，存在有δ>0，当0<|x-a丨<δ时，有丨f(x)-A|<ε 。」

而师先生竟然说【这ε-δ语言就是极限理论骗人的把戏或伎俩。】师先生你这句话说了什么理由和道理，这己经不只是简单的空喊口号，简直就是「恶语伤人」，「泼妇骂街」了。而且说明师先生根本就没有学懂极限概念的严格数学定义。

在这里ε和δ表示不超过的距离，即δ表示x同a的接近程度，ε表示f(x)同A的接近程度。既然极限概念表达的是无限接近，这里的ε和δ就绝对不是一个确定的数，不是那个【Δx在Δx→0的过程中永远变不到0而只能变到的绝对值任意小的数,,,。】极限的定义是说无论ε多么小，对任意的ε都存在相应的δ，只要x同a的距离不超过δ，相应的f(x)同A的距离就不超过ε。这里的ε和δ绝不是只有一对数就行的，而是对任何一个ε，都有相应的δ存在。这个ε-δ的表述，准确地表达了「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」的确切含义。

【5】 Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)，四，2)，3) 。

2) 师先生说【薛问天先生终于承认0/0，∞/∞，都是「极限的类型符号」了。】
这是师先生典型的「偷换概念」，把自己的观念「强加于人」的粗暴作法。你仔细睁大眼睛看我是怎么说的。我说【这里的0/0型不是数，而只是一种求极限的类型的符号。】

我说的是「一种求极限的类型的符号」，而你故意把它改成「极限的类型符号」。尽管只有一字之差，它的含义却有天壤之别。「求极限的类型」指的是求极限以前的问题的类型，而「极限的类型」是指求出极限后的所得极限的类型。「极限的类型」只有两种，一种是有限极限，极限是确定的实数。一种是无限极限，极限是无穷大。而「求极限的类型」指的是求极限以前的问题的类型，有0/0型，∞/∞型，...等。

而这正是我强调的，0/0型的求极限的问题，是对于分子和分母的极限都是0的这种类型的除式的求极限的问题，绝不是说这种类型的除式的极限就是0/0。0/0不是数，也不是∞，在极限理论中没有以0/0为极限的定义。

3) 我当时主要是针对有限极限讲的。如果讲全点应该这么说【0/0不是数，也不是∞，怎么能是极限呢?】这样讲就完整了，还有问题吗?

以∞为极限是有定义的，但是极限理论中没有以0/0为极限的定义。