对于量子场论的重整化技术，20世纪著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac）在生前（1983年）最后一篇文章《原子物理的未来》中批评道[1]：

“我们现有的理论是这样的一个理论，当我们试图去解其中的方程时就会出现无穷大的量。这些无穷大量可用重整化的方法加以消除。这样得到的理论并不是一种建立在严格的数学基础上的理论，确切地说，它只不过是一套处理规则而已。

许多人因为这个理论取得了一些有限的成就而对此心满意足了。然而，这种情况并不够好。物理学必须建立在严格的数学基础之上。我们可以下这样的结论：现有理论的一些基本概念错了。需要有一个新的数学基础。”

这里，狄拉克所说的“取得了一些有限的成就”指的是量子场论中电子反常磁矩的精确计算值，它使用的数学技术就是重整化。而有意思的是，就连利用重整化技术计算出电子反常磁矩的理论物理学家费曼（Richard Feynman）也对该技术批评道[2]：

“看来如果我们取量子力学，加上相对论，加上每一样东西都是定域的命题，加上几条默认的假设，我们就会陷入相互矛盾的境地，因为当我们计算不同的东西的时候我们得到的是无穷大，而如果我们得到无穷大我们怎么能够说这是同自然界符合的呢？”

    量子场论是一个非常奇妙的理论，尽管它可以得到物理学中与实验符合精度最高的结果，但是在非常短距离（高能物理阶段）积分处却会导致无穷大。正是这一原因，像狄拉克和费曼等20世纪的顶尖物理学家才会批评量子场论。不过，后来重整化技术的集大成者威尔逊（Kenneth Wilson）认为，量子场论之所以会出现无穷大，是因为我们对于非常短距离的物理理论是未知的，所以当我们将物理理论在某个短距离处截断，那么就可以避免无穷大。比如，为了避免量子引力出现无穷大，我们可以用普朗克尺度做截断；比如，为了避免固体物理中出现无穷大，我们可以用晶格常数做截断。因此，威尔逊得出结论：任何量子场论都天然的带有一个紫外（高能）截断，并且这个截断有物理意义。

威尔逊是20世纪70年代提出这个论断的，它促生了后来广为人知的“有效场论”。但是关于威尔逊所说的截断有物理意义，物理学界却一直持保留态度。毕竟普朗克尺度太过遥远，现有的实验技术根本无法去检验这个尺度上的任何现象。那么威尔逊关于截断的论断对吗？且看固体物理的进展。

笔者2017年在《欧洲物理快报》发表了一篇文章[3]，其中提出了一个描述零温库珀对的量子场论，该理论的解依赖于固体物理中的截断（按照威尔逊的建议，该截断为晶格常数）。但是论文发表后笔者却遭遇了量子场论学者的批评，见下面的评审意见：

The physical meaning of Tao’s scaling relation is quite unclear, since the cut-off dependence is just a parameter introduced for a practical calculation and does not have a rigid physical meaning within renormalization group calculations.

这些学者认为截断只是一个数学技巧，没有任何的物理意义，因此笔者的理论是无效的。后来笔者了解到关于截断是一个数学技巧的说法，有一个出处，那就是温伯格的《量子场论》（卷1），可见12.4节（但是留有余地）。温伯格（Steven Weinberg）是量子场论的大家，曾因为统一电磁力和弱力而荣获1979年诺贝尔物理学奖。看到温伯格的书之后，笔者心凉了一大截。按照笔者的经验，理论与一些“老人”的看法相悖时，往往很难改变“老人”的观念。笔者曾与一位沃尔夫物理奖得主就一个理论物理问题有过争论，但是由于纯理论争论没有办法进行证伪，始终不能说服他，所以那篇论文到现在都没有发表。

温伯格是量子场论的开山宗师级人物，如果他反对的话，笔者的理论想要进行后续发展就很困难了，同行评议就是一个巨大的阻碍。

不过，有意思的是，后来当笔者按照威尔逊的建议将晶格常数作为截断代入到笔者的方程解之后，却发现理论值与实验值超高精度吻合（就笔者有限的知识所知，物理学上能媲美的只有电子反常磁矩值与水星近日点反常进动值的计算结果）。这让笔者惊喜不已，立马给温伯格写了一封信:

After reading your famous book “The quantum theory of fields” (Volume 1), I found that you doubted the physical meaning of Wilson’s cut-off in section 12.4. In your opinion, it seems that the cut-off is introduced for a practical calculation and does not have a rigid physical meaning within renormalization group calculations.

However, in my recent work entitled “Parabolic scaling in overdoped cuprate films”, when I introduce the cut-off as the inverse of lattice constant (as Wilson has proposed), I obtain the theoretical values being in accordance with experimental measure values with surprisingly high accuracy. I guess that you might have some interest for my paper.

   Yong Tao

    其实笔者就是把之前的评审人意见复制给了温伯格（见黑体字），只是现在的论文中多了新的实验结果的理论值，它与实验测量值高精度吻合。让笔者意外的是，温伯格给笔者回了一封赞同信：

In solid-state physics there really is a cut-off, the lattice spacing, which of course one must take seriously in dealing with phenomena at similar length scales. The aspect of Wilson’s work to which I was referring was his theory of the effects in critical phenomena at length scales much larger than the lattice spacing, for which the cut-off is just a mathematical convenience.

SW

温伯格说固体物理中的晶格常数当然是有物理意义的截断，并强调他书中说“截断是数学技巧”是指的远大于晶格常数尺度的那种“截断”。收到温伯格回信的那一刻，笔者的心情终于轻松了。还有什么比实验与理论高精度吻合更强的证据呢？现在温伯格也同意了量子场论截断的严格物理意义，因此笔者将温伯格的意见直接作为内容放进自己的论文中。接下来，没有人再用截断没有物理意义的说辞来批评笔者了。

笔者这篇论文近期将发表在超导专业期刊Journal of Superconductivity and Novel Magnetism，对早期工作论文感兴趣可见（发表版有较大改动）：

https://www.researchgate.net/publication/331487523_Parabolic_scaling_in_overdoped_cuprate_films

任何物理学家都可能会受到时代和当时实验手段的限制而做出不正确的论断，包括狄拉克和费曼也不例外。当然也有超越时代的先行者，在量子场论重整化的问题上，这个先行者就是威尔逊。不过，笔者也没有想到的是，第一个证明威尔逊正确的证据来自笔者的理论。

待论文正式出版之后，笔者再来做具体介绍。

参考文献：

[1]. 狄拉克，原子物理的未来，《自然杂志》，1986，9卷，655页

[2]. 费曼，《物理定律的本性》，湖南科学技术出版社，2005年，163页和171页

[3]. Yong Tao, BCS quantum critical phenomena. Europhysics Letters 118 (2017) 57007