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梁定祥猜想解析及证明思路
梁定祥猜想:6的任何倍数的平方,恰好是两组孪生素数之和。
设6的任意倍数的平方为(6n)^2,m正整数且1≤m≤(18n^2-2),p为不小于√(18n^2)的素数,则
(6n)^2=m+(18n^2-m) +(m+2)+(18n^2-m-2)
m≠0modp 18n^2-m≠0modp m+2≠0modp 18n^2-m-2≠0modp
即
m≠0 modp m≠18n^2 modp m≠p -2 modp m≠18n^2-2 modp
给定一正整数n,m有解,梁定祥猜想正确,否则不成立。下面分析上列四个同余不等式。
当p为2时,四个同余不等式等价于m取模2余1的数,去模2余0的一个同余类。
当p为3时,四个同余不等式等价于m取模3余2的数,去模3余0,1两个同余类。这里可以看出18n^2里因数3的作用,如果18n^2不是3的倍数,18n^2模3余1或2,那么(18n^2-2)模3余2或1,则m没有可取之数。因此只要是3的倍数即可,所以18n^2可换成6n^2。
当p为不小于5的素数时,四个同余不等式最多去模p的四个同余类,m可能有解。
n^2的作用:18n^2的个位数变为0,8或2,四个同余不等式,当p=5时,最多去模5的三个同余类,m也是可能有解。 因此,18n^2换成6n不影响问题的本质,但是可表偶数增加为偶数的1/6。
18n^2或者6n,在什么情况下成立?
回顾四生素数,设正整数n,2≤m≤n,p为不大于√(n+8)的素数,若m≠0modp , (m+2)≠0modp,(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp,则m,(m+2),(m+6)和(m+8)为四生素数。m≠0modp , (m+2)≠0modp,(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp,是去模p余0,(p-2),(p-6),(p-8)的同余类。在《素数个数公式及其推论》一文中推论18:不大于x的四胞胎(p,p+2,p+6,p+8)素数个数S(x)公式可推导出:当18n^2或者6n大于3500000时,表法数不小于1。因为梁定祥猜想已验算到这个程度,梁定祥猜想是正确的。18n^2换成6n,3500000内有几个不成立,这个可以用计算机验算。下面就6n=6,12,18,24,30几个数按本文思路验算,加深本文印象。
6n=6,1≤m≤4,p=2,在1、2、3、4中去模2余0的数后,余下1、3两个数,m分别取1和3得:
12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)
=1+(6-1)+(1+2)+(6-1-2)
=1+5+3+3=(1+3)+(3+5)
=3+(6-3)+(3+2)+(6-3-2)
=3+3+5+1=(3+5)+(1+3)
6n=12,1≤m≤10,p=2、3,在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10中去模2余0的数后,余下1、3、5、7、9五个数,在余下数中去模3余0、1的数后,余下5一个数,m取5得:
12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)
=5+(12-5)+(5+2)+(12-5-2)
=5+7+7+5=(5+7)+(5+7)
6n=18,1≤m≤16,p=2、3,在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16中去模2余0的数后,余下1、3、5、7、9、11、13、15八个数,在余下数中去模3余0、1的数后,余下5、11、两个数,m分别取5和11得:
12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)
=5+(18-5)+(5+2)+(18-5-2)
=5+13+7+11=(5+7)+(11+13)
=11+(18-11)+(11+2)+(18-11-2)
=11+7+13+5=(11+13)+(5+7)
6n=24,1≤m≤22,p=2、3,在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22中去模2余0的数后,余下1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21十一个数,在余下数中去模3余0、1的数后,余下5、11、17三个数,m分别取5、11和17得:
12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)
=5+(24-5)+(5+2)+(24-5-2)
=5+19+7+17=(5+7)+(17+19)
=11+(24-11)+(11+2)+(24-11-2)
=11+13+13+11=(11+13)+(11+13)
=17+(24-17)+(17+2)+(24-17-2)
=17+7+19+5=(17+19)+(5+7)
6n=30,1≤m≤28,p=2、3、5,在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28中去模2余0的数后,余下1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27十四个数,在余下数中去模3余0、1的数后,余下5、11、17、23三个数,在余下三个数中去模5余0、3的数后,余下11、17,m分别取11和17得:
12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)
=11+(30-11)+(11+2)+(30-11-2)
=11+19+13+17=(11+13)+(17+19)
=17+(30-17)+(17+2)+(30-17-2)
=17+13+19+11=(17+19)+(11+13)
验算到1000,有6n=96、 516 、786 、906,m无解。
结论:梁定祥猜想是正确的。
12 的倍数恰好是两组孪生素数之和,在不小于3500000时成立。
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