学过量子力学的朋友都很熟悉“海森堡测不准公式”：

众所周知，海森堡测不准公式应该是量子力学中最基础的结果了，因为它的严格版本（不对易代数公式）被狄拉克用于建立了完整的量子力学，稍后又被看作量子力学哥本哈根诠释的根基之一。按照现有的文献记载，海森堡在发表这个公式前（1926年）曾与爱因斯坦有过关于“可观察量”的哲学对话，并深受爱氏的启发。但也正是海森堡的这一公式，让爱因斯坦终生难以释怀，因为它违背了爱因斯坦对场的定域性原则的笃信。

现有的关于海森堡测不准公式的推导主要基于波函数的概率表述与不对易代数公式。但是爱因斯坦对于这个推导非常的不满意，他曾批评道（见[1]中148页）：“目前盛行的观点是，场论首先必须根据大致确立的规则，通过‘量子化’，变换成一个关于场概率的统计理论。我认为，这种方法仅仅是一种用线性方法描述本质上非线性特性的关系的尝试”。显然，在爱因斯坦看来，量子力学的本质理论应该是非线性的，但是传统量子力学的基础却是线性叠加。

对于如何寻求一个爱氏满意的量子力学理论，爱因斯坦没有明说，但却在其遗作《非对称场的相对论性理论》（1954年12月）中最后一段话透露了他耐人寻味的想法（见[1]中148页）：“根据量子现象，可以肯定：一个有限能量的有限系统可以用一组有限的数字来描述。这看上去与连续统理论并不一致，必然导致企图寻求一个纯粹的代数理论来描述实在。但是没有人知道怎样获得这样一个理论的基础”。

笔者2004年第一次读到爱因斯坦这一段耐人寻味的想法时，曾深深为之困惑。爱因斯坦似乎觉得量子力学应该是以离散数学为基础，但是他又认为这样的理论很难有完备的哲学基础。从这样看来，爱因斯坦还是希望利用连续统的数学理论来导出量子化的现实世界，但遗憾的是，他也不知道该怎么做：即一个有限能量的有限系统如何在连续统数学理论中被离散化？

为了更深入的理解爱因斯坦的想法，笔者曾花费了很多年来研究实数理论，特别是康托尔关于连续统理论的阐述。康托尔曾希望证明[0,1]区间内只有2类无穷大（可数无穷基数和不可数无穷基数），这被称为连续统假设，后来康氏没法证明该假设，并精神崩溃。直到多年以后爱因斯坦的密友哥德尔发表“不完备性定理”，人们才认识到连续统假设在现有集合论框架内无法被证明。这意味着，要想证明康托尔的连续统假设，必须为集合论和实数理论增加“新的公理”。增加新的公理必然导致“新的连续统理论”。那么新的连续统理论可以实现爱因斯坦的想法吗？2007年时，笔者突然意识到这一点。

这让笔者心灵为之一震。

现代数学分为代数、几何、分析、概率四大部类，涉及几百个分支，已经相当完备。如何可以为其添加公理呢？这是一个让笔者感到棘手的问题。在数学的四大部类中，笔者最擅长的是分析学，分析学中最难处理的是“无穷”，为了理解“无穷”，数学曾出现危机。但是，在分析学中却有一类无穷，曾引发数学家无限的遐想：一条曲线可以填满一个2维平面。显然平面是2维的，这样的话，那么曲线到底是1维还是2维呢？如果曲线是1维的，那么曲线的长度就是无穷！这是一件相当怪异的事情。这条曲线现在被称为皮亚诺曲线。后来分析学家发现，数学中可以出现大量类似皮亚诺曲线的现象，并将其称为“病态数学”。为了解释这样的“病态数学”，20世纪初数学家豪斯道夫引入了分数维测度的观念，后来被称为豪斯道夫测度。这种测度表明几何学中所谓的“维度”可以是广义的，比如曲线既可能是1维，也可能是2维或者3维的。以往人们认为曲线只能是1维的，那只是一种狭义的顽固己见。按照豪斯道夫的分数维测度观，会有一个奇怪的现象发生：一个点在1维空间的长度是0，但是如果放在0.99维空间来看，其长度可能就不为0了。这代表什么意思呢？没有人知道。但是我们稍后会回到这一点来。

自豪斯道夫之后，数学界开始接受分数维测度对“病态数学”的解释，但是没有人认为这有什么用。直到20世纪60年代，几何学家Mandelbrot发现海岸线的长度就是分数维的，并将其称为“分形” [2]，这引发了豪斯道夫测度在现实中的巨大应用。但是随之而来的是，Mandelbrot发现分数维几何图形具有“自相似”这种“非定域”的特征，这根本无法用豪斯道夫的分数维测度进行解释。从而成为现代数学接纳“病态数学”所缺失的一环。稍后，笔者注意到了这一点，并尝试引入“非定域测度”作为“公理”来描述它。“非定域测度”是连续统理论，在整数维时，与现代数学一致，是定域的连续统理论，但是在分数维时，就变成非定域的连续统理论。笔者的“非定域测度”理论发表在Journal of Applied Mathematics [3]。具体可见笔者博文《分形、非定域距离、分形曲线的微积分》的简介。到此，笔者也算是找到了一个可能的“公理”，从而可以放进现代数学框架。

“非定域测度”既是连续统的，又是非线性的，似乎满足爱因斯坦的想法，但是接下来的问题是：将“非定域测度”应用到一个有限能量的有限系统会产生离散化吗？

答案是肯定的。

新的测度必定导致新的微积分（笔者称为非定域微积分[3]）。按照爱因斯坦的想法，我们不妨考虑一个能量为E的有限系统，它显然代表能量坐标轴上刻度为E的一个固定点。若从1维坐标来看，我们容易发现这一固定点的长度为0，这反映为常数E的牛顿微分dE为0，见图1。但是如果从0.99维坐标来看，这一固定点的长度还为0吗？恐怕未必。这其实正是我们之前提到的豪斯道夫分数维测度所暗示的事情。现在我们用“非定域测度”来做一次微积分[4]：

其中t代表时间，w代表时间轴的维度。方程(2)代表时间轴为w维时，常数能量E对时间的导数，这是非定域测度导致的非定域导数。它在w=1时给出牛顿-莱布尼兹导数：

(3)即众所周知的：常数的牛顿-莱布尼兹导数为0。这也理解为从1维时间轴来看，常数能量E的变化为0，或者固定点的长度为0。但是非定域导数(2)显示，若从w维时间轴来看，固定点E的长度可能就不为0了。为了简单起见，我们可以用下面两幅图来理解，读者请比较图1和图2。

若令：

则方程(2)就是著名的普朗克能量子公式[4]：

这里v表示频率。

就这样，我们看到非定域的连续统数学理论（“非定域测度”）自然的让有限能量的有限系统实现了“离散化”，并得到能量子公式[4]。而这正是笔者将爱因斯坦想法具体实现出来的一个可能方案。这种方案，完全不涉及任何的离散数学理论，而是一个连续统理论。

接下来的问题是这个方案可以导致海森堡测不准公式吗？

下面我们显示：若时间轴的维度w小于1，就可以得到测不准公式。显然若w<1，方程(5)必然导致：

显然，E为有限系统的最大能量，而Dt为时间轴的微分元（最小时间间隔）。因此令：

那么不等式(8)就导致著名的海森堡测不准公式：  

完整的推导可见笔者最新的论文[5]。

好了，到这里，我们的技术讨论就结束了。总的来说，我们利用连续统数学就使得有限能量的有限系统产生了量子化，其中不涉及任何的离散数学。这很符合爱因斯坦当年所提出的想法。因此，我们不妨把这里推导海森堡测不准公式的方法称为“第二种推导”，以区别于不对易的代数方法。

最后，剩下的问题是，我们的方法依赖于时间轴的维度w小于1，这会是真实的吗？笔者一开始对此还是颇感疑虑的，但是直到最近，笔者开始注意到凝聚态量子临界理论与广义相对论的结合时，逐渐相信这可能是真的。众所周知，引力在4维时空很难被重整化，但是2009年左右Horava在Physical Review Letters和Physical Review D发表一系列论文显示：如果时间轴的维度不等于1，那么引力可以被重整化 [6-7]。Horava的方法主要基于凝聚态中的量子临界理论：在统计物理学中，温度与时间扮演相同的角色，因此统计物理中量子场论的时间就是温度，被称为“松原时间”，这种时间的维度可以为任意实数z。最近正是利用这种方法，笔者发现了BCS量子临界现象[8-9]，并被实验所证实[10]。对此可见笔者博文《BCS量子临界现象》的简单介绍。Horava正是将“松原时间”的概念引入现实时空的量子场论，从而尝试重整化引力，这种引力理论被称为“Horava–Lifshitz引力理论” [6-7]。

这样，笔者的研究开始与主流物理理论接轨。在笔者看来，“Horava–Lifshitz引力理论”应该是一个很有潜力的方向。当然，时间轴的维度是否小于1，还需要实验观测来确定。笔者理论预言时间轴的维度大约在1-10^(-59)。尽管这是一个非常接近1的数，但是利用原子钟有可能是一个潜在的检测方案[4-5]。

期待未来有一天，这个微弱的差异可以被观测到吧。

发表论文《Quantum Behavior Arises Because Our Universe is a Fractal》链接[5]：

http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S2424942417500062

参考文献：

[1]. 爱因斯坦，相对论的意义，上海科技教育出版社，2003年9月

[2]. B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science, 156(1967) 636-638

[3]. Y. Tao, The validity of dimensional regularization method on fractal spacetime, Journal of Applied Mathematics,Volume 2013 (2013), Article ID 308691, 9 pages  

[4]. Y. Tao, Testing for Wilson’s quantum fieldtheory in less than 4 dimensions, ScienceOpen Research (2015)

[5]. Y. Tao, Quantum Behavior Arises Because Our Universe is a Fractal, Rep. Adv. Phys. Sci., 01(2017) 1750006

[6]. P. Horava, Quantum gravity at a Lifshitz point,Phys. Rev. D, 79(2009) 084008

[7]. P. Horava, Spectral Dimension of the Universein Quantum Gravity at a Lifshitz Point, Phys. Rev. Lett, 102(2009) 161301

[8]. Y. Tao, Scaling Laws for Thin Films near the Superconducting-to-Insulating Transition. Scientific Reports 6 (2016) 23863

[9]. Y. Tao, BCS quantum critical phenomena. Europhysics Letters 118 (2017) 57007

[10]. I. Bozovic et al., Dependence of the critical temperature in overdoped copper oxides on superfluid density. Nature 536 (2016)309