有实重根的线性系统的能达丰富性(2)

     由博文“有实重根的线性系统的能达丰富性(1)”(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3343777)给出的性质：

     “当系统矩阵 $A$ 为约旦阵时，能达丰富性与每个约旦块对应的输入矩阵 $B$ 的分块的最后一行相关，与该分块的其它行无关”。

我们有：对约旦阵 $A$ ，其相应的能达丰富性的有如下等价计算

      $\textrm{Vol}(R_{r,N})=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}B,A^{k_{2}}B,\cdots,A^{k_{n}}B\right]\right)\right|$

                $=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}\Gamma,A^{k_{2}}\Gamma,\cdots,A^{k_{n}}\Gamma\right]\right)\right|$

其中 $B=\left[b_{1},\cdots b_{n-1},b_{n}\right]^{T},\Gamma=\left[0,\cdots,0,b_{n}\right]^{T}$ 。因此有当 $n-1

$\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}\Gamma,A^{k_{2}}\Gamma,\cdots,A^{k_{n}}\Gamma\right]\right)=$

      $=(-1)^{n-1}\left(\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{(n-j)!}\right)\lambda^{\sum_{j=1}^{n}k_{j}-n(n-1)/2}b_{n}^{n}\prod_{1\leq i

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